素数 数论miller-rabin primality

数论 欧拉函数 定义 欧拉函数 \(\phi(n)\) 表示 \([1,n]\) 之间与 \(n\) 互质的数量。 公式 设 \(n=\alpha_{1}^{p_1} \times \alpha_{2}^{p_2} \times \alpha_{3}^{p_3} \times …… \times \ ......

同余 定义 费马小定理 定理内容：若 \(p\) 是质数，则有：$ \forall a \in Z, a ^ p \equiv a \pmod p$。 推论：当 \(\gcd(a,p) = 1\) 时，\(a ^ {p - 1} \equiv 1 \pmod p\)。 裴蜀定理及拓展欧几里德算法 裴 ......

<1>数组运算 1）数组的集成初始化 1.形式示例 1 - int a[]={1,2,3...}; 2 - int a[13]={2};————第一个单元内中的a0=2,剩下的单元都默认赋为0； 2.集成初始化时的定位——仅适用于C99 举例： int a[10]={ [0]=2,[2]=3,6, ......

整除 设 有整数 a,b且 a 不等于 0。 如果存在整数 q，使得 b=aq，那么就说 b 可被 a 整除，记作 a∣b，b 不被 a 整除记作 a∤b。 比如 3∣9的意思是 3能整除 9 ， 而 3∤10是3不能整除 10。 🌰 给定两个正整数a,b(0<a,b<105), 判断 a 能否整 ......

public class zhaosushu { public static void main(String[] args) { System.out.println("当前素数的个数为"+sushu(101, 200)); // 题目：找101-200的素数的个数 } public static ......

#include <iostream> using namespace std; // 判断一个数是否是素数 bool isPrime(int num) { if (num < 2) { return false; // 数字小于2不是素数 } for (int i = 2; i * i <= nu ......

【题目描述：】 一个素数是仅有两个约数的数：其本身和数字1。例如，1, 2, 3, 5, 17, 101和10007是素数。 本题输入一个单词集合，每个单词由a-z以及A-Z的字母组成。每个字母对应一个特定的值，字母a对应1，字母b对应2，以此类推，字母z对应26；同样，字母A对应27，字母B对应2 ......

@Test public void test() { // 素数是只能被1和自身整除的数.规定1不是素数 int i,j; for (i=2;i <= 1000;i++) { for(j=2;j<i;j++){ if(i%j==0){ break; } } if(i==j) { System.out ......

本节考虑形如： f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x1+a0≡0 mod pk 的方程，其中a>=2,p为素数，p不整除a。 方程解法步骤： 1.求出 f(x)≡0 mod p 的解 x≡c mod p 2.设 f(x)≡ 0 mod p2 的解为x≡=c+yp2-1 求出y，带入解 ......

一，用while-else结构完成 i = int(input("please:")) j = 2 while j < i: if i%j==0: print("不是素数") break j+=1 else : print("是素数") 二，输入一个数，判断是否为素数 a=2 n=int(input ......

筛法 埃氏筛 \(O(n\log\log n)\) inline void primes(int n) { memset(v,0,sizeof v); for(int i = 2;i <= n;i++){ if(v[i]) continue; p.push_back(i); for(int j=i; ......

今天在群里又看到了经典的数论不等式：\(\min x, s.t. L \le ax \bmod b \le R\)。以及杜岩旭问这个是不是等价于 \(\min at \bmod b, t \in [L, R]\)。实际上当然是等价的。首先我们可以胡乱处理一下令 \(a \perp b\)，无论在哪个 ......

加法原理 若完成一件事的方法有 \(n\) 类，其中第 \(i(1 \le i \le n)\) 类方法包括 \(a_i\) 种不同的方法，且这些方法互不重合，则完成这件事共有 \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\) 种不同的方法。 乘法原理 若完成一件事的步骤有 \(n\) 个， ......

7-3 统计素数并求和 本题要求统计给定整数M和N区间内素数的个数并对它们求和。 输入格式: 输入在一行中给出两个正整数M和N（1≤M≤N≤500）。 输出格式: 在一行中顺序输出M和N区间内素数的个数以及它们的和，数字间以空格分隔。 输入样例: 10 31 输出样例: 7 143 解题思路： 一开 ......

想把 spfa 换成 dij，用 Johnson 里面的技巧，给予每个点一个势能 \(h_u\)，边 \((u,v,w)\) 的新边权为 \(w+h_u-h_v\)，为了保证其 \(\geq 0\) 以源点为最短路跑最短路后赋值 \(h_u\gets d_u\) 即可。 增广之后会加入反向边，考虑怎 ......

# 平方-乘算法与Miller-Rabin素性测试算法 平方-乘算法 代码实现 a=19244;h=17;n=221 # a=input();h=input();n=input() H=bin(h) z=a #print(a,' ',H[2]) for i in range(3,H.__len__( ......

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int P=1e9+7; int mod(int a){//求模 return ((a%P)+P)%P; } int add(int a,int b){//加法 a=mod(a); b=mod(b ......

括号放在不同地方有什么区别？ #include<stdio.h> int main() { int a,b,c,i=0,m,n,sum=0; scanf("%d %d",&a,&b); if(a<1||b<1||a>500||b>500||a>b) printf("error"); else { f ......

算法部分 杜教筛 \[S(n) = \sum_{i = 1}^{n}f(i) \]要求 \(f\)积性，且能被表示为 \(f* h = g\)，而 \(g\) 的前缀和与 \(h\) 的点值是好求的。 考虑展开狄利克雷卷积。 \[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} f* ......

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int P=1e9+7; int mod(int a){//求模 return ((a%P)+P)%P; } int add(int a,int b){//加法 a=mod(a); b=mod(b ......

整除 若 \(a / b (b \ne 0)\) 为整数，则称 \(b\) 整除 \(a\) ，记作 \(b \mid a\) 。若 \(a / b\) 和 \(c / b\) 的余数相等，则称 \(a, c\) 模 \(b\) 同余。 同余 关于同余，有以下命题等价： \(a\) 和 \(b\) ......

一、应用情景 求 \(\sum\limits_{i = 1}^{n} g(i)\lfloor\frac n i\rfloor,n\leq 10 ^{12}\) 二、常见结合 莫比乌斯反演 …… 三、算法原理&代码实现 实际上，\(~\lfloor \frac n i\rfloor~\)的取值其实最多 ......

费马小定理 当 \(p\) 为质数时，若 \(\gcd(a,p)=1\)，则 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。 但逆命题是错的，例如 \(p=561\) 这类卡迈克尔数，满足任何 \(\gcd(a,p)=1\) 都有 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。所以用 ......

目录 前言 数论基础 1.1 整除 1.2 带余除法，同余 质数 2.1 唯一分解定理 2.2 质数筛（线性筛） 2.3 欧拉函数 最大公因数/最小公倍数 3.1 辗转相除法 3.2 裴蜀定理 3.2 扩展欧几里得算法 线性同余方程 4.1 费马小定理 4.2 欧拉定理 4.3 逆元 4.4 求解线 ......

0 前言 闲的没事的时候可能会摸鱼写一写，都是些非常基础的东西。 最高大概会写到 exCRT 和 exBSGS 吧，阶和原根往后的我也不会了，但是前面的内容会时不时来补充。 为了方便偷懒，许多定理不会给出证明。 1 基本概念 \(\gcd(a,b)\) 或者 \((a,b)\)：\(a,b\) 的最 ......

数论分块 在P2424偶然学到了这个算法，觉得很有意思，于是单拎出来再学习一下。 数论分块，又叫整数分块，解决 f(n) = \sum_{i=1}^{n}g(i) \times \lfloor \frac{n}{i} \rfloor 一类问题。观察发现 \lfloor \frac{n}{i} \rf ......

int main(){ int i = 0; int n = 0; scanf("%d", &n); if (n == 1) printf("不是素数\n"); else { for (i = 2; i <= n ; i++) { if (n % i == 0) break; } if(i==n) ......

Base Sieve base Dirichlet Convolution Sqrt Decomposition 会挖坑，好让复习的时候长脑子。 以下所有 \(p\) 都是质数，即 \(p\in\mathbb{P}\)，同时默认均为正整数。 Base 唯一分解定理（算术基本定理）： \[\begin ......

筛法 当我们需要获取一个区间内的所有素数的时候，我们肯定会想到筛法。 比较常见的是埃氏筛和线性筛。 他们的实现难度不高，但核心思想有所不同。 埃氏筛 考虑一个 $p \in \mathbb{P}$ 和任意一个一个大于 $2$ 的正整数 $x$，$\forall y = xp, y \notin \m ......

Codeforces Round 891 (Div. 3) F. Sum and Product 思路：对于x,y：ai+aj=x —> aj=x-ai 因此 ai*(x-ai) = y ——> ai = (x 土 sqr( x^2 - 4y ) ) /2 对应的 ai 就是要的两个值 若两个值不同 ......