素数 数论miller-rabin primality
【CF1542C】Strange Function（数论）
**题目大意：** *** ```cpp #include using namespace std; typedef long long ll; const ll mod=1e9+7; ll n; ll lcm(ll x,ll y){ return x/__gcd(x,y)*y; } int mai ......
【提高级】数论
# 前言 前段时间在补提高大纲，补完之后这篇博客用来记录梳理复盘提高大纲里数论的一些知识点，有错误欢迎批判捏。 # 欧拉函数 ## 定义 $\varphi(n)$ 表示小于等于 $n$ 中与 $n$ 互质的数的个数，即 $\varphi(n)= \sum ^n _{d=1} [\gcd(d,n)=1 ......
js找出一定范围内的全部素数（埃拉托斯特尼筛法Sieve of Eratosthenes）
最近在看js的基础，看到函数这一章的时候，看到了这种写法。 原文链接：https://zh.javascript.info/function-basics 突然懵了个B，js还能这么写。然后问了下chat，才想起来这是js的标签用法。 在JavaScript中，标签（label）是一种标识符，用于标 ......
素性测试--Miller-Rabin算法
### 引子 今天（23/8/16），老师问了一个有趣的问题： 出道题给大家, 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111113111111111111 ......
【1342C】Yet Another Counting Problem（数论）
**题目大意：** 求有多少$x(1\le l\le x\le r\le 10^{18})$满足$(x\mod a)\mod b\neq(x\mod b)\mod a(1\le a,b\le 200)$，有$q(1\le q\le 500)$次询问。 *** 设答案为$f(l,r)$，考虑前缀和$f ......
【1165D】Almost All Divisors（数论）
**题目大意：** 给出一个数的所有因数（除了$1$和这个数本身），判断这个数是否存在。 *** 先将所有因数排序，然后计算最小因数和最大因数的积，我们设这个数为$x$。 如果$x$满足了以下的任意一个条件，则答案为不存在： 1. 存在一个$k$，第$k$大的数和第$k$小的数之积不等于$x$。 2 ......
基础数论
质数： 在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数 合数：在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数 约数（因数） ：能够将一个数整除的数 质因数：能够将一个数整除的质数 互质：公约数只有1的两个整数 ## 质数 质数：在大于1的整数中，如果只包含1和本 ......
『学习笔记』整除分块（数论分块）
## 简述 整除分块这个东西听起来不是很抽象，但是我理解起来的确有点抽象（可能因为我太菜了吧）。那就先放张图：  # 题目 **题目描述** Forsaken有一个有趣的数论函数。对于任意一个数 $x$ ， $f(x)$ 会返回 $x$ 的最小质因子。如果这个数没有最小质因子，那么就返回0。 现在给定任意 ......
NC54580 素数分布
[题目链接](https://ac.nowcoder.com/acm/problem/54580) # 题目 **题目描述** 素数分布函数 $\pi (n)$ 表示小于或等于n的素数的数目。例如 $\pi (10)=4$（2,3,5,7是素数）。这个函数涉及到许多高等数论的内容，甚至和黎曼猜想挂钩 ......
1.基础，判断素数
``` #include #include using namespace std; /*判断素数*/ int isprime(int number) { if(number> number; if(isprime(number)){ cout << "the number is prime"<< ......
数论-同余与扩展欧几里得详解(附例题及代码)
#数论-同余与扩展欧几里得详解(附例题及代码) 注意:这篇文章的信息量会有一点多，请耐心看完 ##一.同余 ###1.1 同余的定义 给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m) 简单来说，对于x,y ......
【学习笔记】简单数论-高斯消元与线性空间
## 友情提示 - 本博客内部分内容因缺乏样例，可能晦涩难懂，建议参考蓝书或者[数论小白都能看懂的线性方程组及其解法](https://www.luogu.com.cn/blog/ShineEternal/linear-equation-group)。 ## 线性方程组 - 线性方程组是由 $M$ ......
数论笔祭 - 林学长的第二数学
# 林学长讲课笔记 ## 极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 考虑运算法则： - 一般来说，函数的和差商积的极限等于函数的极限的和差商积。 但是例外： $$ \lim_{x \to 3} \frac {x - 3}{x^2 - 9} $$ 考虑极限约去 $x - 3$ 得到： $$ ......
【学习笔记】简单数论-同余
- 同余 - 若整数 $a$ 和整数 $b$ 除以正整数 $m$ 的余数相等，则称 $a,b$ 模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b \pmod{p}$ 。 - 性质 - 自反性： $a \equiv a \pmod{p}$ - 对称性：若 $a \equiv b \pmod{p}$ ，则 ......
【学习笔记】简单数论-质数
- 质数的个数是无限的。 - 试除法：若一个正整数 $N$ 为合数，则存在一个能整除 $N$ 的数 $T$ ，其中 $2 \le T \le \sqrt{N}$ 。 - 时间复杂度为 $O(\sqrt{N})$ 。 - 代码实现 ```cpp bool isprime(int n) { if (n ......
【学习笔记】简单数论-快速幂
[luogu P1226 【模板】快速幂 | 取余运算](https://www.luogu.com.cn/problem/P1226) ```cpp #include using namespace std; #define ll long long #define sort stable_sor ......
【学习笔记】简单数论-最大公约数
- 一个整数 $N$ 的约数上界为 $2\sqrt{N}$ 。 - $1 \sim N$ 每个数的约数个数的总和大约为 $N \times logN$ 。 - 取模运算性质 - $(a+b) \bmod p=((a \bmod p)+(b \mod p)) \mod p$ ，反之亦成立。 - $(a ......
数论基本算法学习笔记
# 数论基本知识 ## 裴蜀定理 不定方程$a\cdot x+b\cdot y=c$有解当且仅当$c$是$\operatorname{gcd}(a,b)$的倍数。 **证明**： $$ \begin{aligned} &设集合S=\left\{ \left\vert \mu\cdot a+\nu\c ......
数论学习笔记
# 逻辑 ### 1. 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 $p\Rightarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，$p\Rightarrow q$ 且 $q\not\Rightarrow p$。 $p$ 是 ......
204. 计数质数（素数筛）
给定整数 n ，返回 所有小于非负整数 n 的质数的数量 。 示例 1： 输入：n = 10 输出：4 解释：小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。 示例 2： 输入：n = 0 输出：0 示例 3： 输入：n = 1 输出：0 先上本题做法：（直接用2到sqrt的是过 ......
「Note」数论方向 - 同余相关
# 1. 扩展欧几里得算法 ## 1.1. 介绍 扩展欧几里得算法用于求 $ax+by=\gcd(a,b)$ 的一组特解（整数解）。 推导如下： 设 $\begin{cases}ax_1+by_1=\gcd(a,b)\\bx_2+(a\mod b)y_2=\gcd(b,a\mod b)\end{ca ......
python用筛法输出指定范围素数个数
1 import time 2 stime = time.time() 3 def q(n): 4 is_prime = {x:True for x in range(n+1)} # 生成一个n个元素的字典 key设置为0-n+1 值设置为True 5 del is_prime[0] #删除0 6 ......
数论题目
小凯的疑惑 题面：Link 分析: 题意简述：给定两个互质的正整数$x,y$，求最大不能被表示成$ax+by$的数（$a,b$满足 $0 \le a,b$ 且为整数） 不妨设$x<y$ ,答案为$ans$ 如果： $ ans \equiv mx(mod\,y) (1 \le m \le y-1)$ ......
[数论第四节]容斥原理/博弈论/NIM游戏
- ### 容斥原理 - $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$ - $|\displaystyle \cup_{i=1}^n A_i |=\sum_{i}|A_i|-\sum_{i,j} ......
数论函数合集
#### 整除分块 例题：[UVA11526 H(n)](https://www.luogu.com.cn/problem/UVA11526) 复杂度保证： $$ \forall n \in\mathbb{N_+},|\{ \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rflo ......
数论函数小计
## 1.基础 ### 数论函数 + 定义: 数论函数,就是值域为整数(陪域为复数)的函数 ### 狄利克雷卷积 两个**数论函数**的**狄利克雷卷积**是一个新的函数 比如 $f(n)$,$g(n)$ 它们的卷积就是 $f * g$ 怎么卷呢？ 定义: $\large{(f*g)(n)=\sum ......
数论练习题小结
### 1.[P1447](https://www.luogu.com.cn/problem/P1447) 题意：求 $$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m2\times (i,j)-1$$ 思考：原式等价于$2\sum\limits_{i=1}^n\sum ......
数论学习笔记
本文主要记录自己学习 OI 时用到的数论知识，内容偏进阶。 因为近期其实不太会用到多么高深的数论知识，所以很多内容是空中楼阁，是照抄 OI Wiki 而缺乏自己的理解，这些都等需要的时候慢慢补。这次写笔记主要在于建立起知识体系，知道有哪些东西要掌握。 那么开始。 ## 数论分块 基本的思想是集合 $ ......
数论第一节：质数与质因数
参考博客： http://www.matrix67.com/blog/archives/234 https://www.cnblogs.com/1024th/p/11349355.html https://zhuanlan.zhihu.com/p/267884783 ## 素数的分布： ``` 10 ......