breeding magic 878d cf

考虑先手必胜的充要条件。 实际上，只要 $n$ 为奇数或者本质不同排列为偶数时先手必胜。 $n$ 为奇数时，先手必胜，答案就是 $k^n$。 $n$ 为偶数时，令 $a_i$ 为第 $i$ 个字符出现次数，$\sum\limits_{i=1}^ka_i=n$。反面考虑，我们相当于求 $\dbinom ......

难点在于读题。 由于每个人有 $6$ 种选法，答案其实就是某个人赢两次的方案数。 由于三个人本质没有差别，并且一种方案至多只有 $1$ 个人赢两次。所以不妨设 A 赢了两次，答案就是方案数乘 $3$。 考察 A 对于 B 和 C 的比赛，每个人的投票结果，第 $i$ 个人的投票为 $P_i$ 和 $ ......

下面认为 $m=n$。 有一个显然的暴力：对每个点 $(x,y)$，预处理出另外所有点 $(p,q)$ 是否能到达 $(x,y)$，记为 $f_{p,q,x,y}$。查询 $O(1)$，但是预处理 $O(n^4)$。用 `bitset` 优化即可做到 $O(q+\frac{n^4}{\omega}) ......

`divide and conquer`，简单分治题。 显然可以做二维前缀和，考虑令矩阵 $(l_x-1,r_x,l_y-1,r_y)\to (l_x,r_x,l_y,r_y)$，方便统计答案，其实就是左端点减一。 考虑现在按照 $x$ 坐标分治，计算所有跨过 $x=\text{mid}$ 的矩形的 ......

# CF1229F Mateusz and Escape Room 很好的题目。 对于此类在环上的问题，一个经典的思路是断环成链。我们先形式化的描述题意，即给 $i$ 向 $i + 1$ 定一个流量 $x_i$（可能为负）。限制则为 $$ \forall i, a_i + x_{i - 1} - x ......

## 格雷码 && CF1848F. Vika and Wiki 题解 本来有个GitHub上的Hexo博客的，但是我用起来不太熟练……先在博客园里写了后到时候转移过去吧。 ### 前置知识：格雷码（了解的读者可以跳过） 格雷码是所有k-bit（含k个二进制位）的数的一个排列，使得两个循环相邻（即两 ......

简单题。 $i$ 向 $i$ 后**第一个** $j$，$a_j$ 比 $a_i$ 大的点连边，不难发现最后形成了一棵森林，并且一个点的父亲 $\text{fa}_i>i$。 题目变成了取 $[l,r]$ 中的点为起点，向祖先方向走去并且终点编号 $\le r$ 的最长链长度。 考虑离线，维护从每个 ......

简单题。 先把树拍扁成序列，在 dfn 序上区间修改区间查询。 由于时限 4s，我们可以整点怪的，比如 `bitset`。 把区间内的数有/没有表示成 $01$ 序列，考虑到区间加取模相当于区间内的数全部**循环右移**，用 `bitset` 可以做到 $O(\frac m \omega)$。 然后 ......

拉插优化 dp 在卷怪们眼里已经变成套路了吗，害怕。 考虑一个 dp 的推。设 $f_{u,i}$ 表示 $u$ 子树中填 $[1,i]$ 符合题目条件的方案数，此时不强制 $u$ 选 $i$，所以有： $$f_{u,i}=f_{u,i-1}+\prod\limits_{v\in \text{son ......

参考官方题解。 你发现这个覆盖不太好考虑，考虑时间倒流，变成如下形式： > 一开始，小 A 的位置上有一个数 $a_n$，然后对于接下来 $n-1$ 步，每次小 A 可以向左走/向右走/不动，然后如果此时小 A 所站的位置上**没有数**，就写上 $a_i$，求最后形成序列的最长上升子序列长度。 考 ......

应该是一个很通用的解法。 一个显然的分段 dp： > $f_{j,i}$ 表示前 $i$ 个数分 $j$ 段的方案数，$f_{j,i}\gets \min\limits_{k=0}^{i -1}f_{j-1,k}+w(k+1,i)$。 可以滚动数组，$f_{i}\gets \min\limits_{ ......

考虑如何判断一个方案是合法的，很容易想到贪心，从左到右考虑第 $i$ 棵树： - 如果这棵树能向左倒即 $[x_i-k,x_i]$ 没有被占据，就向左倒。 - 否则向右倒。 显然向左倒对之前已经倒下的树没有影响，而对后面的树来讲，这棵树向左倒能留下尽量多的空间，所以优先向左倒一定不劣。 所以考虑一个 ......

根据唯一分解定理，令 $x=p_1^{q_1}p_2^{q_2}\cdots p_m^{q_m},y=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}$，则 $\text{lcm}(x,y)=p_1^{\max(q_1,k_1)}p_2^{\max(q_2,k_2)}\cdots ......

考虑只有一次询问的时候怎么做。 显然的 cdq 分治，每次分治区间 $[l,r]$，统计跨过 $p=\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor$ 的区间的个数。可以枚举区间左端点，由于右端点右移时区间或单调非降，可以双指针维护。 充分发掘题目条件，由于是区间或，还有一个很套路的性质：一个 ......

这里是加强版，$n\le 10^6$。 考虑到最后删剩下括号序列形如 `(((...(()))...))`，想到枚举分界点。 设 $p$ 为当前枚举的分界点，$l$ 为 $[1,p]$ 内 `(` 的个数，$r$ 为 $[p+1,n]$ 内 `)` 的个数，$x$ 为 $[1,p]$ 内 `?` 的 ......

第一次做这种非合作博弈均衡的题。 显然，当双方均有牌的情况下，先手是不可能直接指定桌牌的：正确的概率为 $\frac{1}{m+1}$，错误的概率为 $\frac{m}{m+1}$，显然 $\frac{m}{m+1}\ge\frac{1}{m+1}$。 于是先手指定桌牌的情况只能是 $n=0$ 或 ......

不知道是怎么想到的。ntf 实在是不平凡的。/bx/bx/bx 你考虑如何判断一个序列是 $\text{good}$ 的。设重排后序列 $t_i$ 前缀 $[1,i]$ 和后缀 $[n-i+1,n]$ 按位或等于 $w_1$，$[1,i+1]$ 和 $[n-i,n]$ 按位或等于 $w_2$。不难发 ......

有一个很蠢但是很好写的做法。 就是你先令 $t_i$ 为与起来恰好为 $i$ 的方案数，然后 $g_i$ 为与起来子集中有 $i$ 的方案数。 然后 $g_S=\sum\limits_{T\subseteq S}t_T$，反演一下变成 $t_{S}=\sum\limits_{T\subseteq S ......

首先我们发现在删的数的数量相等的情况下，尽量细分是不劣的。 所以我们可以假设每一段长度至多为 $c$，同时长度严格 $c]$。 复杂度 $O(n)$。 [评测记录。](https://codeforces.com/contest/940/submission/189160602) ......

CF 评分有毒吧，暴力题上 *2900。 先口胡一下，代码等会再写。 首先考虑 $a_{x,y}\in \{0,1\}$，那 $n$ 个属性对应的人的状态只有 $2^k$ 个，可以把状态相同的属性都合并成一个属性。 取 $\max$ 和 $\min$ 操作就变成了两个人与/或起来。我们可以对每个属性 ......

对于一个询问 $[l,r]$，假设 $\text{lca}(l,l+1,...,r)=u$。 如果删去了点 $x$，使得 $\text{lca}$ 从 $u$ 下移到了点 $v$，说明 $x$ 一定在 $u$ 的子树内并且不在 $v$ 的子树内。 这样顺序好像不太对，这样说吧： 如果你想让答案从 $ ......

#### 题意 给定非负整数 $n,x,y$，对于所有满足 $\sum\limits_{i=1}^{n}a_i=x$ 并且 $\text{OR}_{i=1}^{n}a_i=y$ 的 $\{a_n\}$，求 $\bigoplus\limits_{i=1}^{n}a_i$ 的异或和。 $n\le 2^{ ......

#### 简要题意： 给你两个序列 $a,b$，一次操作可以将 $a$ 的某一个长度为 $k$ 的子区间全部异或上任意值，$f(a,b)$ 为使得 $a$ 和 $b$ 相同的最少的操作数量。 支持单点修改 $a,b$，并在开头和每次修改后输出 $f(a,b)$ 的值。 $n,k,q\le 2\tim ......

#### Description 设 $f(x,y)$ 是 $x+y$ 的二进制进位数(即 $f(x,y)=g(x)+g(y)-g(x+y)$ ，其中 $g(x)$ 是 $x$ 的二进制表示中 $1$ 的个数)。 给定两个整数 $n$ 和 $k$ ，求出满足$0 \leq a,b #define i ......

#### Description 给定一个有 $n$ 个点 $m$ 条边的**有向强连通图**。称一个点是**好的**当且仅当它到其他点都有且只有一条**简单路径**。如果好的点至少有 $20\%$ 则输出所有好的点，否则输出 `-1`。 $\sum n\leq 10^5,\sum m\leq 2\ ......

根据不知从何而来的传统，考前需要写数据结构。 ### Part 1 如何判断二分图 你要是用染色法暴力过了这道题那就只能说是真神仙…… 但是我们可以使用染色的思想。 考虑到颜色数不多，可以开 $k$ 个**拓展域并查集**，对于原图每个点我们拆成两个：$i$ 和 $i+n$，如果 $i+n$ 和 $ ......

首先如果 $2^k>n$，答案为 $n$。 否则 $k\le \log_2n$，然后就可以令 $dp_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数分 $j$ 段的最小答案。 $dp_{i,j}=\min\limits_{k=1}^{i}\{dp_{k-1,j-1}+c(k,i)\}$。 考虑到： $$\beg ......

一发最优解祭（ ### Description 给定一棵树，节点 $1$ 到 $n$ 标号，$q$ 个操作，你需要维护一个路径**可重**集合 $P$，操作一共三种： 1. 向 $P$ 集合加入 $u\to v$。 2. 在 $P$ 集合中删掉 $u\to v$（保证操作之前有加入，并且**只删一个 ......

发现挨位考虑填哪个不太现实，考虑值域。 令 $dp_{i,j,st}$ 表示考虑到 $i$，此时序列长度为 $j$，$i-m$ 到 $i-1$ 填空状态为 $st$ 的方案数，考虑选/不选数即可： $dp_{i,j,st}\times (\text{popcount}(st)+1)\to dp_{i ......

[In Luogu](https://www.luogu.com.cn/problem/CF1407E) 从 $1$ 出发染色不好处理，考虑从 $n$ 出发进行染色，尽可能让每一条路不可经过，这样也是最大化其他点到 $n$ 的最短路。 如果当前为 $u$，点 $v$ 和 $u$ 有边，如果只有一种颜 ......