Lucas

卢卡斯定理/Lucas 定理 引入 求 \(C_{n+m}^n \mod p\)。 \(n,m,p \leq 10^5\)。 如果直接用阶乘求，可能在阶乘过程中出现了 \(p\)，而最后的结果没有出现 \(p\)，导致错误。 有两种解决方法： 1.求组合数时提前把 \(p\) 的质因子除掉。 2.L ......

Lucas定理 定义 对于质数 \(p\)，有：$$\dbinom{n}{m} \mod p=\dbinom{n \mod p}{m \mod p} \dbinom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor} \mod p$$ ......

求解$\sum_{i=0}^kC(n,i)\mod 2333$ 值得一提的是$2,23,233,2333$均为质数。 这次是对行求和。并没有很难好的公式。 但是由于模数非常特殊可以使用卢卡斯定理。 $C(n,i)\%\ p=C(n\%p,i\%p)\cdot C(n/p,i/p)$ 不妨设$f(n, ......

显然，就是有一些的 OGF 为 $\frac{1}{1 - x}$，有一些为 $\frac{1 - x^{b_i + 1}}{1 - x}$。乘起来即可。 发现不太好算分子，考虑枚举哪些算了。 然后我们考虑 $2^t$ 的枚举子集。然后直接乘上对应的 $b_i + 1$ 的系数即可。 然后我们要求分 ......

lucas 定理用于求解模数很$**$的组合数求解，比如模小素数，会遇到不一定互质即没有逆元的情况。 $$ C_{n}^m\equiv C_{n/p}^{m/p}⋅C_{n\mod{p}}^{m\mod{p}}$$ 或者说 $(n_i,m_i)$ 是 $(n,m)$ 在 $p$ 进制上的一组，$C_ ......

组合意义天地灭。 ## Lucas 定理 > 问题 $1$：给定 $n, m \in \mathbb{N}$ 与 $p \in \mathbb{P}$，其中 $n$ 与 $m$ 相当大，而 $p$ 则相对较小，要求计算 $\binom{n}{m} \bmod p$ 的值。 一般的预处理逆元以及递推的 ......

Lucas定理： 主要是求$C_{n}^{m}$在模$p$情况下($mod \, p$)(一般$p$较小，而$n,m$较大的情况) 公式: $ C_{n}^{m} ≡ C_{n \, mod \, p}^{m \, mod \, p} \times C_{n/p}^{m/p} (mod \, p) ......

# 7.29 数论 WIP $a\equiv b\pmod p\Rightarrow \frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d}\pmod{\frac{p}{d}},d=\gcd(a,b,p)$。 ## exGCD 1. 若 $(a,b)=1$，则 $0\leq xb\to a\bm ......

## Lucas 定理 若 $p$ 是质数，则对于任意整数 $1\leq m \leq n$，有： $$\dbinom{n}{m}\equiv \dbinom{n\mod p}{m\mod p}\times \dbinom{\dfrac{m}{p}}{\dfrac{n}{p}}\pmod p$$ 证 ......

# $C^m_n \equiv C^{m/p} _ {n/p} * C^{m \ mod \ p} _ {n \ mod \ p}$ 首先，我们可以知道如下定理 ![image](https://img2023.cnblogs.com/blog/3047794/202306/3047794-2023 ......

1.算法仿真效果 matlab2022a仿真结果如下： 2.算法涉及理论知识概要 1950年，Gibson首先提出了光流的概念，所谓光流就是指图像表现运动的速度。物体在运动的时候之所以能被人眼发现，就是因为当物体运动时，会在人的视网膜上形成一系列的连续变化的图像，这些变化信息在不同时间，不断的流过眼 ......

# lucas定理 学习笔记 [TOC] ## 介绍 > lucas定理用于解决形如 $C_n^m \mod p (p\in prime)$ 的问题。 设 $n,m$ 用 $p$ 进制来表示为：$(n_an_{a-1}\cdots n_0)_p , (m_am_{a-1}\cdots m_0)_p$ ......

什么是Lucas定理 这是一个有助于分解组合数来求解的定理，适合模数小，数字大的问题。 有质数 $p$，对于$n,m$，如果$n=k_1p+b_1,m=k_2p+b_2$,有 $$ C_n^m\equiv C_{k_1}^{k_2}C_{b_1}^{b_2} \pmod p $$ 由此可以分解成较小 ......

若 $p$ 为质数，则对于任意整数 $1\le m \le n$，有： $C_n^m \equiv C_{n \div p}^{m \div p} \times C_{n\mod p}^{m\mod p} (mod~p)$ 也就是把 $n$ 和 $m$ 表示成 $p$ 进制数，并且对 $p$ 进制数 ......

// 需要先预处理出fact[]，即阶乘 inline ll C(ll m, ll n, ll p) { return m < n ? 0 : fact[m] * inv(fact[n], p) % p * inv(fact[m - n], p) % p; } inline ll lucas(ll ......

0x00 前言 Lucas 定理适用于求在模 p 意义下的组合数（p 是质数）。此时， p 一般不大，但 n,m 很大，这样无法通过常规的方法预处理（一是空间可能开不下，二是如果 m>p ，则 n-m 和 m 不一定有逆元）。 当然你可以用杨辉三角递推，但这是 $\text{O}(n^2)$ 的。 ......