Treap

平衡树定义 先解释下平衡树，当时找资料找了半天才完全搞懂。 上图： 平衡树 = 平衡二叉树 平衡树 = 二叉搜索树 + 不同平衡树对于平衡的定义 而“平衡性”是为了使整体的查询高度满足在 \(O(\log n)\) 。 Treap 定义 这一篇是平衡树中的 Treap 树，最简单的平衡树之一。 首先 ......

确实 FHQ-Treap 不知道比隔壁 Splay 好多少，码量少，常数小。 前置知识 C++ BST Head 原理&代码实现 FHQ Treap 不是通过旋转来保持平衡的，而是通过分裂和合并。 FHQ Treap 会按二叉搜索树一样根据键值排序结点，并且随机赋给每个结点一个优先级，按照二叉堆的顺 ......

前置：BST \(Treap=BST+heap\)，通过额外维护堆的性质来避免退化成链的问题。 与\(BST\)中结构释义相同的部分不做解释。 \(priority\)表示优先级，即该节点在小根堆中的值，\(child[0]\)表示左孩子，\(child[1]\)表示右孩子。 \(public\)中 ......

平衡树：YYDS 以下是常见的平衡树/要用平衡树实现的算法： Treap（有旋/无旋） Splay树 WBLT（Weight Balanced Leafy Tree，重量平衡线段树） SBT（Size Balanced Tree，陈启峰树） AVL树 B树 、B+树 笛卡尔树 红黑树 、左偏红黑树 ......

二叉查找树 二叉查找树是一棵有点权的二叉树，具有以下几个特征： 左孩子的权值小于父亲的权值 右孩子的权值大于父亲的权值 中序遍历及从小到大排序 二叉查找树支持以下几个操作： 插入一个数 删除一个数 找一个数的前驱 找一个数的后继 询问一个数的排名 询问排第几名的数 二叉查找树一棵二叉查找树，所以在最 ......

FHQ Treap，其中 FHQ 指此做法的发明者——范浩强神犇，是依赖于分裂合并操作实现的 Treap，这种操作方式使得它天生支持维护序列、可持久化等特性 ......

概述 FHQ Treap 基于 Treap 发明的“无旋 Treap”，代码短，易理解且速度快（在 OI 算是很优秀的算法了）。 FHQ Treap 核心函数只有两个，分别是 分裂 和 合并。字面意思，就是将某一棵二叉查找树按某种要求分裂成两个或将两个合并成一个。 实现 变量维护 变量名 功能 ro ......

前置知识：二叉搜索树与二叉堆。 1. 简介 Treap，即 Tree+Heap，它的每个结点上存储着一个索引 \(key\) 和一个值 \(val\)，其中索引满足二叉堆的性质，值满足二叉搜索树的性质，且索引是随机的。Treap 就是通过上述的性质，使树达到平衡。 至于为什么索引是随机的，其实很简单 ......

为了更好的阅读体验，请点击这里 题目链接 套上平衡树板子就能做的很快的题，然后因为是指针存树，因此交换只需要把序列大小较小的挨个拿出来插到相应的地方即可。复杂度 \(O(N \log^2 N)\)。 但是一定要记住 不可以直接使用 std::swap 交换包含带有指针的类的实例（如代码中的 Trea ......

fhq-treap 是一种好写、复杂度低，且功能的优秀数据结构，涵盖了 treap 几乎所有的功能，其巧妙之处，就在于运用分离和合并两种操作代替了旋转操作。 1. BST 的定义 （摘自 OI Wiki）二叉搜索树（BST）是一种二叉树的树形数据结构，其定义如下： 空树是 BST 若 BST 左子树 ......

前置知识 treap是由BST和heap组合而成的数据结构，这一点也体现在它的名字上：treap=tree+heap BST中，每个节点的左儿子都比它小，右儿子都比它大，可以实现有序的遍历，但是可能因为数据特殊的排列方式，而退化为线性 heap中，每个父节点都是当前子树内权值最大（或最小）的点。 在 ......

为了更好的阅读体验，请点击这里 这里只有板子没有原理QWQ 可实现 1.插入 x 数 2.删除 x 数(若有多个相同的数，只删除一个) 3.查询 x 数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数 +1) 4.查询排名为 x 的数 5.求 x 的前驱(前驱定义为小于 x，且最大的数) 6.求 x 的后继( ......

线段树的标记下传与平衡树不大一样，这也就是`Leafy Treap` 出现的意义 正如其名，这里给出了一个`leafy` 化的 `FHQ_Traep` 的实现 `feature:` + 复杂度同`FHQ` + 可以简单可持久化 + 可以避免在标记维护时的讨论，减少常数 + 维护序列码量小于市面上大部 ......

众所周知，FHQ-Treap是一个码量少，可区间翻转，能持久化的treap（只是常熟略大） 像我这种蒟蒻，想调处有旋Treap或者Splay肯定要个114514年 以下可能以FHQ代表FHQ-Treap（逃 #### 前置芝士 treap的节点拥有两个权值，一个是值，一个是优先级。优先级满足堆的性质 ......

### BST $v_i$ 表示点权，$x$ 表示当前点，$L$ 表示左子树，$R$ 表示右子树 在普通二叉树的基础上多一个条件 对于 $p\in L$，满足 $v_p\leq v_x$ 对于 $q\in R$，满足 $v_x using namespace std; struct node { i ......

## 引入 > 题目来源：[文艺平衡树 - 洛谷P3391](https://www.luogu.com.cn/problem/P3391) > 您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一个有序数列。 > 其中需要提供以下操作：翻转一个区间，例如原有序序列是 $5\ 4\ 3\ 2\ 1$，翻 ......

[toc](目录) # 1）FHQ-Treap 基本功能理论与实现 不同于经典的基于[左旋、右旋的 Treap](https://blog.csdn.net/zhaochuanfei666/article/details/110518539)，FHQ-Treap 是基于分裂与合并的的一种 Treap ......

## 啥是平衡树 这边建议去[这里](https://oi-wiki.org/ds/treap/#%E7%AE%80%E4%BB%8B "这里")。 ## 分裂 一般指的是按值分裂，意思就是以树上的BST（二叉搜索树）的值为关键值分裂。一般会给一个关键值 $val$ ，把一棵平衡树分裂成BST值 $ ......

范浩强 Treap 是一种应用广泛的数据结构（可参考 [OI_Wiki](https://oi-wiki.org/ds/treap/#%E6%97%A0%E6%97%8B-treap "OI_Wiki")），然而网上难以找到比较严谨的复杂度证明. 本文将严格证明 $n$ 个结点的 Treap 的** ......

**本文仅发布于此博客和作者的[洛谷博客](https://www.luogu.com.cn/blog/cantgiveitaname/)，不允许任何人以任何形式转载，无论是否标明出处及作者。** *** ## 前置废话 fhq为什么是神。 首先我们有一个正常Treap。 正常Treap对于每一个值 ......

FHQ-treap，即无旋 treap，又称分裂合并 treap，支持维护序列，可持久化等特性。 FHQ-treap 有两个核心操作，**分裂** 与 **合并**。通过这两个操作，在很多情况下可以比旋转 treap 等方便的实现一些操作。 FHQ-treap 与其他的平衡树相比，他最明显的优点是： ......

# 简介  FHQ-Treap 是一种无旋转的 Treap。 和大多数的平衡树不一样，它并不是用旋转来维护的，而是 ......

# 无旋 Treap（FHQ Treap） ## 引入 FHQ-Treap 的功能非常强，它的操作方式使得它天生支持维护序列、可持久化等特性。并且， 它几乎涵盖了有旋 Treap 的全部功能。 由于之前浅学过的 Splay 和 Treap 都已经忘掉了，故这篇文章只记录一下 FHQ-Treap 的相 ......

# 第一部分 按值分裂的 FHQ-Treap 按值分裂的 FHQ-Treap 的典型例题是P3369 【模板】普通平衡树。 ## 思路 ### FHQ-Treap 是什么？ FHQ-Treap 是二叉搜索树的一种。 比如： ![image](https://img2023.cnblogs.com/b ......

```c++ #include using namespace std; const int M=1e6+10; int cnt = 0; // cnt记录当前节点个数，最新一个节点即t[cnt] int root = 0; // root是整棵树的树根，初始为空树所以root初始化=0 int n ......

update：2023.1.12 以前写的博客看起来太仓促了，修改了一下。 update：2023.6.21 还是只会写模板的我来再修一下（其实是基本重写了一遍~~我以前写的什么狗屎~~）。 第一次写是2022.8.9，现在一看都快隔着一年了，令人感慨。 # FHQ-Treap 学习这种平衡树不需要 ......

splay 是通过 splay 操作均摊复杂度，而旋转 treap 也旋转，但是是通过随机赋权使得复杂度在期望下正确。 具体来说就是再随机赋一个权值 $rank$ ，通过旋转使得这棵树的 $val$ 满足二叉搜索树且 $rank$ 满足小根堆。 具体来说，在查询的时候是不旋转的，只有在插入和删除时有 ......

# 非旋TREAP [TOC] ## 一、TREAP—新的树形结构 ### 1.treap=tree+heap 首先可以知道的是，他作为一个树形结构，很多操作都可以达到logn的强度，这是tree的来源 其次，treap实际上（个人觉得）很像一个二叉搜索树，换句话说，我们建立这颗数时要有一个值，（假 ......

```cpp struct Node { int pri, data, num, sz, ch[2], fa; }t[maxn]; int pos; struct Treap { int root; int newNode(int x) { t[++ pos] = (Node){rand(), x, ......

[模板传送](https://www.luogu.com.cn/problem/P3369) FHQ-Treap顾名思义就是范浩强大佬设计的一种二叉平衡树 下面我们来讲一下它的原理和代码 # 结构体 对于一个节点，我们需要记录的是 * 对应的值 * 子树节点数 * 左右孩子编号 * 对应的随机值 ` ......