傅氏级数
傅氏级数和泰勒级数一样，是一种函数展开，与泰勒级数不同的是，傅氏级数的基底函数不是多项式，而是三角函数1,\(cosnx\), \(sinnx\)，它保证了在\([0,2\pi]\)的区间上这些基底函数是正交的，即：$$\int_{0}^{2\pi}cosnx sinnx = 0$$ 。这样展开的思路可能来源于函数本身可以看做一个无穷维的向量，而任意一个向量又可以通过其空间中的一组正交基表达，所以自然而然想到函数可以通过其空间中的一组正交函数来展开，而这组正交函数在这里就是上面的三角函数。由于是三角函数是周期的，所以傅氏级数的适合于周期函数的展开，如\(f(x+2L) = f(x)\)， 有\(f(x) = a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_ncos\frac{n\pi x}{L}+b_nsin\frac{n\pi x}{L})\)
这里系数的确定可以通过两边乘上某个基底函数然后再积分利用正交性来求。级数的定义完事儿之后，下一个标准的步骤就是讨论级数的收敛性，这些在考研的时候都是家常。这里傅氏级数的收敛性由狄利克雷定理描述，狄式定理描述的是函数的傅氏级数展开如何收敛于函数本身，一般来说狄式定理的条件在实际问题中是满足的，所以实际问题中函数的傅氏级数展开是收敛到该函数的(直白一点就是说函数这样展开是合理的)，具体的在间断点函数的傅氏级数收敛到间断点处函数的左右极限的平均值，连续点处函数的傅氏级数就收敛到函数值。
半幅傅氏级数
上述傅氏级数只适用于有限区间内的周期函数，而半幅傅氏级数则适用于有限区间(\([0,L]\))的任意函数。它要求函数\(f(x)\)是分段光滑的，它的正弦函数展开式为：
\(f(x) = \sum_{n=1}^\infty C_nsin\frac{n\pi x}L\)
它的余弦函数展开式为：
\(f(x) = D_0+\sum_{n=1}^\infty D_ncos\frac{n\pi x}L\)
同样地，式中系数的确定同样利用到了基底函数的正交性。它的收敛性也由狄式定理描述。
傅式积分
上述俩级数只适用于有限区间里面的函数，现在考虑的傅式积分则是针对无穷区间(\([-\infty,\infty]\))的函数。通俗说，傅式积分就是傅氏级数的连续版本，函数的傅式积分要求函数是分段光滑且绝对可积的，绝对可积即\(\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|<\infty\), 它给出\(|x|\rightarrow \infty, f(x) = 0\)
傅氏级数转化为傅式积分的过程首先是把周期\(2L\)推向\(\infty\),然后定义\(w_n = \frac{n\pi}L\) 来将离散增量转化为连续增量\(\Delta w = w_{n}-w_{n-1}\) 最后引用定积分的定义来将级数转化为积分
\(f(x) = \int_{0}^{\infty}[A(w)coswx+B(w)sinwx]dw\); \(A(w) = \frac{1}\pi\int_{-\infty}^\infty f(t)coswtdt\); \(B(w) = \frac{1}\pi\int_{-\infty}^\infty f(t)sinwtdt\)
傅式积分的收敛性同样也由狄式定理描述
傅氏变换
绝对可积的函数一定有傅氏变换(比如概率密度函数一定有傅氏变换)，傅氏变换是一种积分变换，积分变换的意义是将函数\(f(x)\)经过积分变换变为另一 类 函数。傅氏变换是傅氏积分的扩展，是将频谱范围(\(w\))从\([0,-\infty]\)转化成了\([-\infty,\infty]\)，基本思路就是将傅氏积分中的求系数的\([-\infty,\infty]\)的区间拿出来，利用欧拉公式得到下式
\(f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iwt}dte^{iwx}dw\)
这个式子本身表达的是傅氏积分的逆变换\(f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{iwx}dw\)而其中的 \(F(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-iwt}dt\)就是傅氏变换。注意傅氏逆变换，根据傅氏积分，这个变换的收敛性是由狄氏定理描述的。傅氏变换可以用在求解微分方程或者积分方程上，将微分积分方程进行傅氏变换将其转化为代数方程，然后求解代数方程，再利用傅氏逆变换将解转化为原来的解。
附：Dirac \(\delta\)函数
\(\delta\)函数有两个重要特征：
- \(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-x_0)dx =1\)
- \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0)\)（筛选性质）
除此之外，\(\delta\)函数还是一个偶函数，它与\(f(x)\)的卷积本质上是对\(f(x)\)的平移：\(\delta(x-x_0)*f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(\xi-x_0)f(x-\xi)d\xi = f(x-x_0)\)
利用\(\delta\)函数的这些性质，可以比较方便地表示那些不是绝对可积函数的傅氏变换如\(sinkx, coskx\). 再如\(F(\delta(x)) = 1\)以及\(F^{-1}(1) = 2\pi \delta(w)\)中第二个式子就用到\(\delta\)函数是偶函数的性质。
附：卷积和\(\delta\)函数的筛选手操
\(f(x)\)和\(g(x)\)的卷积表为：\(f(x)*g(x) =\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)g(x-\xi)d\xi\) 具体操作就是首先将每个函数的所有自变量变为\(\xi\)，然后把第二个函数的自变量再变为\(x-\xi\)然后在\([-\infty,infty]\)上对\(\xi\)积分。
\(\delta\)函数的筛选：\(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0)\) 首先识别积分变量\(x\)然后把\(\delta\)函数中的非积分量带到\(f(x)\)中