摘要 首先推导角速度公式和角加速度公式，并举一个例子说明角速度公式的细节，然后从加速度公式出发推导转动惯量矩阵 J 和姿态动力学方程 Jw'=w×Jw，并解释为什么需要进行一次坐标变换。
（未完成）
旋转坐标系下的速度和加速度
（角速度公式）旋转坐标系 \(\mathcal{F}_2\) 绕惯性坐标系 \(\mathcal{F}_1\) 以角速度 \(\vec{\omega}\) 旋转，设 \(\mathcal{F}_1\) 下位置向量 \(\vec r\) 的一阶导和二阶导分别为 \(\dot{\vec{r}}_1\) 和 \(\ddot{\vec{r}}_1\)，\(\mathcal{F}_2\) 下位置向量的一阶导和二阶导分别为 \(\dot{\vec{r}}_2\) 和 \(\ddot{\vec{r}}_2\)，\(\mathcal{F}_2\)，满足
\[\begin{aligned}
\dot{\vec{r}}_1
=& \dot{\vec{r}}_2
+ \vec{\omega}\times\vec{r}_1 \\
\ddot{\vec{r}}_1
=& \ddot{\vec{r}}_2
+ 2\vec{\omega}\times\dot{\vec{r}}_2
+ \dot{\vec{\omega}}_2\times\vec{r}
+ \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})
\end{aligned}\]
证明： 设同一向量 \(\vec{r}\) 在坐标系 \(\mathcal{F}_1\) 和 \(\mathcal{F}_2\) 下的坐标分别为
\[\begin{aligned}
\vec{r} =& \begin{bmatrix}
\vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\ y_1 \\ z_1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\vec{a}_x & \vec{a}_y & \vec{a}_z
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_2 \\ y_2 \\ z_2
\end{bmatrix} \\
=& \mathcal{F}_1\vec{r}_1 = \mathcal{F}_2\vec{r}_2
\end{aligned}\]
其中 \([\vec{e}_x\ \vec{e}_y\ \vec{e}_z]\) 表示惯性坐标系 \(\mathcal{F}_1\) 下的三轴单位向量，\([\vec{a}_x\ \vec{a}_y\ \vec{a}_z]\) 表示坐标系 \(\mathcal{F}_2\) 的三轴单位向量在惯性系 \(\mathcal{F}_1\) 下的坐标，
三个单位向量张成旋转坐标系 \(\mathcal{F}_2\) ，
则向量 \(\vec{r}\) 的一阶导
\[\begin{aligned}
\dot{\vec{r}}_1
=& \frac{\text{d}}{\text{d}t}(\mathcal{F}_2\vec{r}_2) \\
=& \mathcal{F}_2\dot{\vec{r}}_2
+ \dot{\mathcal{F}_2}\vec{r}_2 \\
=& \mathcal{F}_2\dot{\vec{r}}_2
+ \vec{\omega}_1 \times \mathcal{F}_2\vec{r}_2 \\
=& \mathcal{F}_2\dot{\vec{r}}_2
+ \vec{\omega}_1 \times \vec{r}_1
\end{aligned}\]
此处以及后面的 \(\vec\omega_1\) 都是在惯性系 \(\mathcal{F}_1\) 下的坐标，下面简记作 \(\vec\omega\)。
此处补充一些个人理解。\(\mathcal{F}_2=\vec{\omega} \times \mathcal{F}_2\) 是因为 \(\mathcal{F}_2\) 可以简单地看作三个向量绕旋转轴 \(\vec\omega\) 转动，不涉及坐标变换；而 \(\dot{\vec{r}}_1\neq\vec{\omega} \times \vec{r}_1\) 是因为此时向量 \(\vec r\) 不是绕旋转轴 \(\vec\omega\) 转动，而是个复合运动，\(\vec\omega\) 是本体系（旋转坐标系）相对于惯性系的旋转角速度，\(\vec r\) 在本体系下还有 \(\vec r_2\) 的角速度，当 \(\vec r\) 在本体系下的角速度为0时两种情况等价，可以理解成有个本体系固定在 \(\vec r\) 上。
举个例子，如图所示，惯性系用 \(Ox_1y_1z_1\) 表示，本体系用 \(Ox_2y_2z_2\) 表示。一开始时，本体系与惯性系重合，向量 \(\vec r\) 与y轴正向重合，然后本体系沿惯性系x轴逆时针旋转，角速度为 \(\vec\omega_1\)；向量 \(\vec r\) 沿本体系z轴顺时针旋转，角速度为 \(\vec\omega_2\)
\[\vec\omega_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\
\vec\omega_2=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\]
注意两个角速度向量分别在惯性系和本体系下表示。向量 \(\vec r\) 在本体系下的坐标为
\[\vec r_2=\begin{bmatrix} \sin t \\ \cos t \\ 0 \end{bmatrix}
\]
本体系到惯性系的旋转矩阵为
\[ \mathcal F_2=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & -\sin t \\ 0 & \sin t & \cos t
\end{bmatrix},\
\mathcal F_2^{-1}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t
\end{bmatrix} \]
惯性系到惯性系的旋转矩阵 \(\mathcal F_1\) 为单位阵。所以向量 \(\vec r\) 在惯性系下的坐标为
\[ \vec r_1=\mathcal F_2\vec r_2=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & -\sin t \\ 0 & \sin t & \cos t
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \sin t \\ \cos t \\ 0 \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} \sin t \\ \cos^2 t \\ \sin t\cos t \end{bmatrix} \]
两边同时求导得到角速度公式
\[\begin{aligned}
\dot{\vec{r}}_1 =& \mathcal{F}_2\dot{\vec{r}}_2
+ \vec{\omega}_1 \times \vec{r}_1 \\
\begin{bmatrix} \cos t \\ -\sin 2t \\ \cos 2t \end{bmatrix}
=& \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & -\sin t \\ 0 & \sin t & \cos t
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \cos t \\ -\sin t \\ 0 \end{bmatrix}
+\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\times\begin{bmatrix} \sin t \\ \cos^2 t \\ \sin t\cos t \end{bmatrix} \\
=& \begin{bmatrix} \cos t \\ -\sin t\cos t \\ -\sin^2t \end{bmatrix}
+\begin{bmatrix} 0 \\ -\sin t\cos t \\ \cos^2 t \end{bmatrix} \\
=& \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & -\sin t \\ 0 & \sin t & \cos t
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos t \\ -\sin t \\ \cos t
\end{bmatrix}
\end{aligned}\]
对上式进一步求导得
\[\begin{aligned}
\ddot{\vec{r}}_1
=& \vec{\omega} \times \mathcal{F}_2\dot{\vec{r}}_2
+ \mathcal{F}_2\ddot{\vec{r}}_2
+ \dot{\vec{\omega}} \times \mathcal{F}_1\vec{r}_1 \\
&+ \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \mathcal{F}_2\vec{r}_2
+ \mathcal{F}_2\dot{\vec{r}}_2) \\
=& \mathcal{F}_2\ddot{\vec{r}}_2
+ 2\vec{\omega} \times \mathcal{F}_2\dot{\vec{r}}_2 \\
&+ \dot{\vec{\omega}} \times \mathcal{F}_1\vec{r}_1
+ \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \mathcal{F}_1\vec{r}_1) \\
=& \ddot{\vec{r}}_2
+ 2\vec{\omega}\times\dot{\vec{r}}_2
+ \dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}
+ \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})
\end{aligned}\]
姿态动力学方程
\[M=J\dot{\vec w}+\vec w\times J\vec w
\]
下面的推导来自文末参考资料[1]。
角动量定理
\[ \frac{\text dH}{\text dt}=M\quad
\left(\frac{\text d(mv)}{\text dt}=F\right) \]
其中 \(H,M\) 分别为刚体的角动量和作用在刚体上的力矩（括号中与直线运动的质点动量定理对比便于理解）。刚体角动量是刚体内所有质量微元相对基准点 \(S\) 的角动量之和
\[ \vec h=m\vec r\times\vec v,\quad
H=\iiint\limits_V\vec r\times\dot{\vec r}\text dm \]
其中 \(\text dm\) 为刚体的质量微元。
\[\begin{aligned}
& \vec r\times\vec v = \vec r\times(\vec w\times\vec r)
= r^2\vec w-(\vec r\cdot\vec w)\vec r \\
=& [(x^2+y^2+z^2)w_x-(xw_x+yw_y+zw_z)x]\vec e_x \\
+& [(x^2+y^2+z^2)w_y-(xw_x+yw_y+zw_z)y]\vec e_y \\
+& [(x^2+y^2+z^2)w_z-(xw_x+yw_y+zw_z)z]\vec e_z \\
=& [(y^2+z^2)w_x-xyw_y-xzw_z]\vec e_x \\
+& [-xyw_x+(x^2+z^2)w_y-yzw_z]\vec e_y \\
+& [-xzw_x-yzw_y+(x^2+y^2)w_z]\vec e_z \\
=&\begin{bmatrix}
y^2+z^2 & -xy & -xz \\
-xy & x^2+z^2 & -yz \\
-xz & -yz & x^2+y^2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
w_x \\ w_y \\ w_z
\end{bmatrix} \\
\end{aligned}\]
于是
\[H=\iiint\limits_V\vec r\times\vec v\text dm=J\vec w
\]
其中 \(J\) 为刚体的转动惯量矩阵，形式为
\[J=\begin{bmatrix}
J_x & -J_{xy} & -J_{xz} \\
-J_{xy} & J_y & -J_{yz} \\
-J_{xz} & -J_{yz} & J_z \\
\end{bmatrix}\]
其中
\[J_x=\iiint\limits_V(y^2+z^2)\text dm
\]
其它项类似。
这里需要注意区分惯性系和与刚体固连的本体系，也就是为什么需要进行一次坐标变换。在惯性系中，刚体上各点的坐标不是定值，只有在本体系下的转动惯量矩阵为定值，所以这里需要转换坐标系。角动量在本体系下表示为 \(H_s=J_s\vec w\)，\(J_s\) 为定值。当本体系以角速度 \(\vec\omega\) 绕惯性系旋转时，一个向量 \(\vec r\) 在两个坐标系下对时间的导数满足
\[\dot{\vec{r}}_1 = \dot{\vec{r}}_2 + \vec{\omega}\times\vec{r}_1
\]
其中 \(\vec r_o\) 和 \(\vec r_s\) 分别表示向量 \(\vec r\) 在惯性系和本体系下的坐标。所以
\[M_o=\dot H_o=\dot H_s+\vec w\times H_s=J_s\dot{\vec w}+\vec w\times J_s\vec w
\]
\[\begin{aligned}
& \frac{\text d}{\text dt}(\vec r\times\vec v) \\
=& \dot{\vec r}\times\vec v
+\vec r\times\dot{\vec v} \\
=& \vec v\times\vec v
+\vec r\times\frac{\text d}{\text dt}(\vec\omega\times\vec r) \\
=& \vec r\times(\dot{\vec\omega}\times\vec r+\vec\omega\times\dot{\vec r}) \\
=& (\vec r\cdot\vec r)\dot{\vec\omega}-(\vec r\cdot\dot{\vec\omega})\vec r
+\vec r\times(\vec\omega\times(\omega\times\vec r)) \\
=& r^2\dot{\vec\omega}-(\vec r\cdot\dot{\vec\omega})\vec r
+\vec r\times((\vec\omega\cdot\vec r)\vec\omega
-(\vec\omega\cdot\vec\omega)\vec r) \\
=& r^2\dot{\vec\omega}-(\vec r\cdot\dot{\vec\omega})\vec r
+(\vec\omega\cdot\vec r)(\vec r\times\vec\omega)
\end{aligned}\]
参考
- 章仁为.卫星轨道姿态动力学与控制[M].北京航空航天大学出版社.1998.
- 刚体动力学中的欧拉方程是如何推导出来的？-知乎