单调性

极值

最值

凹凸性质

渐近线

水平渐近线
- \(\lim_{x->\infty} f(x) = A\),
铅直渐近线
- \(\lim_{x->x_0}f(x) = \infty\)
\(\Delta\)斜渐近线
- \(\lim_{x->\infty}\frac{f(x)}{x} = a\)且\(\lim_{x-> \infty}{f(x) - ax} = b\)那么直线 y= ax + b就是y=f(x)的斜渐近线

曲率与弧微分

之前专业没学，完全是背公式，

弧微分

上图当ds无限小，那么就有

\(ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}\)

\(ds = \sqrt{1 + y'}dx\)
即使出题是参数方程，或者极坐标方程，带入公式就行
y= f(x),在区间（a,b）上有连续的导数，那么\(ds = \sqrt{1+(y')^2}dx\)

曲率

意义：表示曲线的弯曲程度，曲率大弯曲程度越大，
下图

在A与A'点斜率为0，那么角度改变了\(\alpha_1 和\alpha_2\)
，\(\Delta s\)相同，那么平均K

\[K = \frac {\alpha}{\Delta s} \]

当A和B无限接近，可以用微分表示\(K = \frac {d \alpha}{ds}\), 有用完\(y' = tan \alpha\)那么\(\alpha = arctan(y')\)两边对x微分，
\(d\alpha = \frac{1}{1+(y')^2} * y''dx =>\) \(d\alpha = \frac{y''}{1+(y')^2}dx\),

\(ds参考弧微分\)

\[K = \frac {\frac {y''}{1+(y')^2}dx}{\sqrt{1+(y')^2}dx} = \frac{y''}{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}} \]