中值 定理

在分布式系统中，有一个著名的理论定理被称为CAP定理（CAP theorem），它描述了在一个分布式系统中三个关键属性的权衡：一致性（Consistency）、可用性（Availability）和分区容错性（Partition Tolerance）。 根据CAP定理，一个分布式系统无法同时满足一致性 ......

一个用来求一张图的生成树个数的方法。 ## 基础结论 在无向图中，定义一个点的度数为 $d_i$，边 $(u,v)$ 的数量为 $c_{u,v}$。 在有向图中，定义一个点的入度为 $ind_i$，出度为 $outd_i$，边 $u\to v$ 的数量为 $t_{u,v}$。 先把结论扔出来： 求无 ......

求解$\sum_{i=0}^kC(n,i)\mod 2333$ 值得一提的是$2,23,233,2333$均为质数。 这次是对行求和。并没有很难好的公式。 但是由于模数非常特殊可以使用卢卡斯定理。 $C(n,i)\%\ p=C(n\%p,i\%p)\cdot C(n/p,i/p)$ 不妨设$f(n, ......

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## 关于圣彼得堡悖论的一些思考 记 $N$ 为 游戏的轮数，则 $N \sim Ge(\frac{1}{2}),P(N=k)=2^{-k},k=1,2,3,...$ 奖金 $X=2^N$，$E(X)=E(2^N)=\sum_{k=1}^{+\infty} 2^k\times 2^{-k}=\sum ......

## 定理 若m为正整数，如果两个整数a和b满足（a-b）能够被m整除，即（a-b）$\div$ m得到一个整数，那么就称整数**a与b对模m同余**，记作`a≡b(mod m)` **两个数的和，差，积的余数等于余数的和，差，积** 因为多个数可以分解为多步两个数的运算，所以以上结论在多个数的情况 ......

推荐阅读： [矩阵树定理(+行列式) - command_block 的博客](https://www.luogu.com.cn/blog/command-block/ju-zhen-shu-ding-li-xing-lie-shi-post)。 ## 行列式 ### 定义 这个东西一般用于求解图的 ......

### 前言： 因为某次考试订正 T4，用到了 exCRT，然后发现我和 lws 不会 exgcd…… 所以来把 gcd 到 exgcd 重新学一下，就写了这篇 trick。 ### 欧几里得算法： 求证： $$ \gcd(a,b)=\begin{cases} \gcd(b,a\bmod b) & ......

## 逆元 求解$ax=b\pmod m$，其实等价于$ax+my=b$，然后扩欧就无了。 可以应用于求当是$a,p$互质，求$a$在模$p$意义下的逆元,方法就是求解$ax=1\pmod p$。 ## 中国剩余定理（CRT） ### 问题： 有$m_1,m_2,...,m_n$，$n$个整数两两互 ......

# 微分中值定理 ## 罗尔定理 ### 费马引理 $f(x)$ 在 $x_{0}$ $U(x_{0})$ 有定义，在 $x_{0}$ 处可导，如 $f(x)\le f(x_{0})$，所有的 $x\in U(x_{0})$。 则 $f'(x_{0}) = 0$。 导数等于零的点为函数的驻点（或稳定 ......

欧拉定理： 若$gcd(a,m)=1$，则$a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}$ 证明：令$r_1,r_2,···,r_{\varphi(m)}$为模m下的一个简化剩余系，则$ar_1,ar_2,···,ar_{\varphi(m)}$也为模m下的一个简化剩余系,令$f=r_ ......

[传送门](luogu.com.cn/problem/P4313) 数据范围一眼网络流。 考虑每个人文理只能选一个，考虑最小割。 考虑源点$S$向$(i,j)$连一条费用为$art_{i,j}$的边，$(i,j)$向汇点$T$连一条费用为$science_{i,j}$的边。若割$S$与$(i,j)$ ......

[toc] # 谱分解定理 设三阶**实对称矩阵** $A$，若矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，对应的特征向量分别为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 且**两两正交**，则 $A = \lambda_1 \alpha ......

给定两个非负整数数列 $p_1 \ge p_2 \ge \dots \ge p_n$ 以及 $q_1 \ge q_2 \ge \dots \ge q_m$ 满足 $\sum_{i = 1}^n p_i = \sum_{i = 1}^m q_i$，存在一个简单二分图使得左部点的度数分别为 $p_1, ......

BEST 定理。 从 $s$ 出发的欧拉回路个数。选出一个内向树，对于 $u$ 指定父边作为从 $u$ 离开的最后一条边。再对所有节点剩余的出边随意定一个顺序，方案数是： $$ T_s\times out_s!\prod_{i\neq s}(out_i-1)! $$ 其中 $T_s$ 是 $s$ 为 ......

问题 解法一 1.先计算出所需区间的大小10-2=82.计算当前区间的中值8/2=43.用区间起点加上中值，即为真实的中间值 2+4=6 完整公式是 (end-start)/2 + start 解法二 1.前置扩充所需区间start大小2.后置扩充所需区间start大小3.新的区间大小是12，那么中 ......

~~没有证明绝对不是因为我不会~~，证明可看:[重谈主定理（master定理）及其证明](https://www.cnblogs.com/GJY-JURUO/p/13719879.html) 这篇文章主要是写给自己看的，写的不好。 $$ \text{如果有} T(n)=aT(\lceil\frac{ ......

1 #include "vtkAutoInit.h" 2 VTK_MODULE_INIT(vtkRenderingOpenGL2); 3 VTK_MODULE_INIT(vtkInteractionStyle); 4 5 #include <vtkSmartPointer.h> 6 #include ......

一、起源与发展 CAP（Consistency、Availability、Partition Tolerance）（一致性、可用性、分区容忍性）也叫Brewer定理，由Eric Brewer于2000年提出。 2002年，Seth Gilbert和Nancy Lynch用严谨的数学推理证明了CAP猜 ......

> **观前提醒**：「文章仅供学习和参考，如有问题请在评论区提出」 [toc] ## 前置 ### 剩余类（同余类） 给定一个正整数 $n$ ，把所有的整数根据**模 $n$ 的余数 $r\in [0, n - 1]$** 分为 $n$ 类，每一类就可以被表示为 $C_{r} = nx + r$ ......

威尔逊定理：若p为素数，则p可以整除(p-1)!+1。 用同余方程表示为：(p-1)! ≡ -1 (mod p) 证明如下 充分性： 当p=1时，(p-1)! ≡ 0 (mod p) 当p=4时，(p-1)! ≡ 2 (mod p) 当p>4时，当p为完全平方数时，设k²=p，探讨2k和p的大小，因 ......

lucas 定理用于求解模数很$**$的组合数求解，比如模小素数，会遇到不一定互质即没有逆元的情况。 $$ C_{n}^m\equiv C_{n/p}^{m/p}⋅C_{n\mod{p}}^{m\mod{p}}$$ 或者说 $(n_i,m_i)$ 是 $(n,m)$ 在 $p$ 进制上的一组，$C_ ......

组合意义天地灭。 ## Lucas 定理 > 问题 $1$：给定 $n, m \in \mathbb{N}$ 与 $p \in \mathbb{P}$，其中 $n$ 与 $m$ 相当大，而 $p$ 则相对较小，要求计算 $\binom{n}{m} \bmod p$ 的值。 一般的预处理逆元以及递推的 ......

 ![image](https://img2023.cnblogs.com/blog/1943217/2 ......

### 概念 用语言描述，容斥原理求的是不满足任何性质的方案数，我们通过计算所有至少满足 $k$ 个性质的方案数之和来计算。 同样的，我们可以通过计算所有至少满足 $k$ 个性质的方案数之和来计算恰好满足 $k$ 个性质的方案数。这样的容斥方法我们称之为广义容斥原理。 ......

**## Part 1：知识点 #### 费马小定理 若 $p$ 为质数，$a\perp p$，则 $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$ #### 欧拉定理 若 $a\perp n$，则 $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$ （[不会欧拉函数的点 ......

**最长反链**：一张有向无环图的最长反链为一个集合 $S \subseteq V $，满足对于 $S$ 中的任意两个不同的点 $u, v \in S(u \ne v)$，$u$ 不能到达 $v$，$v$ 也不能到达 $u$，且 $S$ 的大小尽量大 **最小不可重链覆盖**：在 DAG 中选出若干 ......

# 欧拉函数 **互质**：对于 $\forall a, b \in \mathbb{N} $， 若 $a, b$ 的最大公因数为 $1$ ， 则称 $a, b$ 互质。 **欧拉函数**:即 $ \varphi (N)$, 表示从 $1$ 到 $N$ 中与 $N$ 互质的数的个数。 在**算术基本 ......

Lucas定理： 主要是求$C_{n}^{m}$在模$p$情况下($mod \, p$)(一般$p$较小，而$n,m$较大的情况) 公式: $ C_{n}^{m} ≡ C_{n \, mod \, p}^{m \, mod \, p} \times C_{n/p}^{m/p} (mod \, p) ......

定义竞赛图的比分序列是将竞赛图每个点的出度从小到大排列得到的序列。 所谓兰道定理，即一个长度为$n$的序列$\{s_i\},s_i\le s_{i+1}$是合法的比分序列当且仅当$\forall k,\sum_{i=1}^ks_k\ge C(k,2)$ 进一步的一个竞赛图强连通的充要条件是：把它的所 ......