性质gcd

# GCD&LCM&欧拉函——推柿子 ## 一、$\sum_{i = 1}^{n}[\gcd(i,n)=d]$ $\sum_{i = 1}^{n}[\gcd(i,n)=d]$ $=\sum_{i = 1}^{\frac{n}{d}}[\gcd(i,\frac{n}{d})=1]$ $=\phi(\f ......

Lemma 1: 若$(c, a) = 1, c | ab$, 则$c | b$ Proof: 直接应用裴蜀定理可得 $$ \exists m, n \in \mathbb{Z}, am + cn = 1$$ 等式两边同乘b, 有 $$ abm + bcn = b \newline \Rightar ......

S1: 被4, 25整除的数, 最后两位一定被4, 25整除. Proof: 被4和25整除的数$I$, 可以看成$\overline{a_na_{n - 1}\cdots a_3pq}$,前面的$\overline{a_na_{n - 1}\cdots a_3}$可以看成$100x$, 因为$4, ......

性质1： 在二叉树的第 i 层至多有2^( i - 1)个节点 ，至少有 1 个节点 （ 度：节点拥有的子节点的个数 ） 性质2： 在深度为 k 的二叉树中，至多有2^k -1个节点 ，至少有 k 个节点 性质3： 对任何一颗二叉树，叶子个数为 n0 ，度数为 2 的节点个数为 n2 ；则 n0 = ......

# CF338D GCD Table 题解 ## 题目描述 你有一个长度为 $k$ 的数列 $a$ ， 询问是否存在 $x\in[1,n]~~~y\in[1,m]$ 使得 $\forall i~~~ \gcd(x,y+i-1)=a_i$。 ## 解析 我们转换一下可以得到： $$ \forall i ......

# 7.消息的性质 ## 7.1.消息可靠性 消息的可靠性投递就是要保证消息投递过程中每一个环节都要成功，那么这肯定会牺牲一些性能，性能与可靠性是无法兼得的 如果业务实时一致性要求不是特别高的场景，可以牺牲一些可靠性来换取性能。 ![img](../typora图片/微服务/clip_image00 ......

$$已知:\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor+1,\lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor = \lfloor x \rfloor$$ $$证明:\lfloor \frac {\lfloor \frac {x} {a} ......

What is the GCD? In mathematics, the greatest common divisor (gcd) of two or more integers, when at least one of them is not zero, is the largest posi ......

## 欧拉函数 在数论，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目。读作 `phi` 。$\LaTeX$ 大写：`\phi` $\phi$ ，小写：`\varphi` $\varphi$ > 部分选自[百度百科](https://baike.baidu.com/item/%E6%A ......

题面：Problem J. Master of GCDHakase has n numbers in a line. At first, they are all equal to 1. Besides, Hakase is interested in primes.She will choose ......

## gcd $ gcd(a,b) $ 表示a与b的最大公约数。[here](https://baike.baidu.com/item/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%AC%E7%BA%A6%E6%95%B0/869308) ### gcd 证明 设有 $ gcd(a,b)=d(a ......

给定 $ n $ 个区间 $ [x_i, y_i] $，保证所有区间均不同。令 $ f(l, r) $ 表示从 $ n $ 个区间中选择偶数个区间使得其并集恰为 $ [l, r] $ 的方案数，$ g(l, r) $ 表示从 $ n $ 个区间中选择奇数个区间使得其并集恰为 $ [l, r] $ 的 ......

有一个空序列，需要维护如下三个操作： - ```1 x```：在序列中添加 $x$。 - ```2 x```：把序列中每个元素的值减去 $x$。 - ```3```：重复从第一条到本条操作的前一条的所有操作，包括操作 $3$。 当一个数的值 $\leq 0$ 时，它将被移出序列。求最后有多少个数还在 ......

# 同余的基本性质 **注：** 这里默认 $a , b , c ,d \in \mathbb{Z} , m , k , d \in \mathbb{Z}^+ $ * 若 $a_1 \equiv b_1 \pmod m $ ，$a_2 \equiv b_2 \pmod m$ ， 则 $a_1 \pm ......

整除 设 $a,b\in \mathbb{Z},a\ne 0$。如果 $\exists q\in \mathbb{Z}$，使得 $b=a\times q$，那么就说 $b$ 可被 $a$ 整除，记作 $a\mid b$ ；$b$ 不被 $a$ 整除记作 $a\nmid b$ 。 OI Wiki 整除 ......

基础知识 等比数列的基本性质 设${a_n }$是首项为$a_1$， 公比为$q$的等比数列，其中$m$ ，$n$ ，$p$ ，$t∈N^$，那么 (1) $a_n=a_m q^{n-m}$； 证明 由等比数列通项公式可得$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$，$a_m=a_1\cdot q^ ......

problem 交互题，评测机有一个排列 $p:[int]$，值域是 $[0,n)$，现在可以询问 $2n$ 次 $(x,y)$，评测机回答 $\gcd(p_x,p_y)$，你需要回答 $p$ 中 $0$ 的两个可能的位置。 $\gcd(x,0)=x$，$1\leq n\leq 10^4$。 sol ......

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1.无向网络中的巨片概念 许多实际的大规模复杂网络都是不联通的，但是往往会存在一个特别大的联通片，他包含了整个节点中相当比例的节点，这一联通片成为巨片（Giant component） 无向网络的联通巨片的存在唯一性 2.巨片的蝴蝶结结构（Bow-tie structure) 强联通核（Strong ......

叶子结点数量比度为2的结点多一个 树的结点数量=总度数+1 层的最多结点数 高度一定的二叉树最多节点数量 完全二叉树的性质 ......

CF338D GCD Table 个人评价：还好 算法 扩展CRT 题面 给了一张$n\times m$的矩阵，第i行j列的权值是gcd(i,j),现在有一个长度为k的序列A，问是否存在(i,j)使得$gcd(i,j+l-1)=a_l(1\leq l\leq k)$ 问题分析 我们将对应行设为x,对 ......

// 异或（不进位加法） 0110 ^ 1100 = 1010 // 相同为0，不同为1 // A ^ A = 0 // (性质1) A ^ 0 = A // (性质2) // 一序列相加 和 异或的值的奇偶性相同 a + b + c = d; a ^ b ^ c = e; <==> d % 2 = ......

异或的一些性质： // 异或（不进位加法） 0110 ^ 1100 = 1010 // 相同为0，不同为1 // A ^ A = 0 // (性质1) A ^ 0 = A // (性质2) // 一序列相加 和 异或的值的奇偶性相同 a + b + c = d; a ^ b ^ c = e; <== ......

整除的概念和性质： 素数和合数的定义： 例题一： ......

2023-02-02 题目传送门 翻译 难度&重要性(1~10):4 题目来源 AtCoder 题目算法 数学，贪心 解题思路 记这个数列的和为 $sum$。那么对于每一次操作，$sum$ 的值都不会改变。最后的答案，也一定是 $sum$ 的因数。 那么我们枚举一下 $sum$ 的因数，然后判断一下 ......

在使用第三方代码库时，有时候需要访问某个类的函数或者变量，但该对象是保护或者私有的，导致无法正常访问。其实，通过一个简单的友元friend类或函数，可以轻松突破编译器的限制。下面是代码实例。假设第三方库有person类，定义如下。 class Person { private: int age = ......

原代码出处, 转自HDAWN, 经过部分改写, 包装为结构体, 常数比较大. 测试 输出 大概实际操作 具体 支持四则运算及GCD运算, 重写了istream和ostream和比较运算符. 构造函数既可以, long long, string, 也可以char[] 缺点: 不支持负数, 负数就只能减 ......

欧拉函数性质 前言：欧拉函数的定义 $\varphi(n)$ 为 $1-n$ 中与 $n$ 互质的数。 1证明： $\varphi(1)=1$ $$\because 只有1与1本身互质\\\therefore \varphi(1)=1$$ 2证明：$当p是质数时，\varphi(p)=p-1$ $$ ......

0 课程地址 https://coding.imooc.com/lesson/207.html#mid=15083 1 重点关注 1.1 算法导论 红黑树5点特性论证 详见2-3树等价于红黑树一章 1.2 红黑树特性 红黑树是保持“黑平衡”的二叉树（从任意一个节点到叶子节点，经过的黑色节点数目是一样 ......

如何求取两个数字的最大公约数？ 原理：a和b的最大公约数，也是a和a%b的最大公约数 private int gcd(int a, int b) { //如果b为0，那么直接返回a if(b == 0) return a; //如果a可以被b整除，那么返回b if(a % b == 0) retur ......