二项式定理 二项式 定理arrangement

朴素多项式算法 - \(O(n^2)\) 合集 我们并不需要 NTT，就算需要，也只是用来优化乘法。 多项式求逆 对于多项式 \(\sum a_i x^i\) 我们需要构造出一个多项式 \(\sum b_i x^i\) 使得： \[\begin{cases} a_0 b_0 = 1 \\ \sum_ ......

对于一个信号，我们想对其进行采样转化成数字信号，显然，当我们采样频率越改，我们所能保留的信息越多，但是当高采样频率对我们的采样设备要求也高，我们希望找到采样频率和模拟信号频率之间的一些关系 有模拟信号$x_(t)\(，我们对其进行理想采样，即采样信号\)\hat{(t) =}x(t)\sum\lim ......

数学之美 今天你不看天气预报，不想昨天前天有没有下雨，不用任何知识去猜出明天是否会下雨，这是一个事件；如果你连续猜未来两天的，那就是两个事件，而且这两个事件是独立的 如果说第一天你猜中会下雨的概率为$P_0$，第二天你猜中下雨的概率为$P_1$，则两天都猜中下雨的概率$P_0$*\(P_1\)，如果 ......

如果ABQ三点共线，则OQ=a*OA+b*OB，且a+b=1，其中O表示不在直线AB上的任意点，当然如果原点不在直线AB上，用原点也是成立的。 参考 向量三点共线定理 (baidu.com) 向量的三点共线定理及应用_百度知道 (baidu.com) ......

题目描述 给定一张 \(n\) 个结点 \(m\) 条边的带权图（可能为无向图，可能为有向图）。 定义其一个生成树 \(T\) 的权值为 \(T\) 中所有边权的乘积。 求其所有不同生成树的权值之和，对 \(10^9+7\) 取模。 注意： 本题中，有向图的生成树指的是 以 \(1\) 为根的外向树 ......

/* Code by pp_orange */ #include<bits/stdc++.h> #define m_p(a,b) make_pair(a,b) #define pb push_back #define ll long long #define ull unsigned long lo ......

中国剩余定理及其扩展定理 学习笔记 中国剩余定理，又叫孙子定理，最早出现在我国古代著作《孙子算经》中，OI 中常称其为 CRT(China Remainder Theorem)。 问题 CRT 用于求解线性同余方程组问题，且模数互质： \[(a_1, a_2, ..., a_n) = 1\\\beg ......

一、离散时间鞅 定义离散时间鞅为一个时间离散的随机过程 \(X_0, X_1, \ldots\)，使得 \(\forall n \in \mathbb{N}\)，均满足： \(E(|X_n|) < \infty\)。 \(E(X_{n + 1} - X_n \mid X_0, X_1, \ldots ......

1. 奈氏准则 奈氏，定义极限传输速率，为 2W LB(V) -- LB() 以二为底的对数， V是电平数。例如，0001 电平数为 4; 【例1】 在无噪声的情况下，若某通信链路的带宽为3kHz,采用4个相位，每个相位具有四种振幅的QAM调制技术，则该通信链路的最大数据传输率是多少？ 信号有 4× ......

卢卡斯定理/Lucas 定理 引入 求 \(C_{n+m}^n \mod p\)。 \(n,m,p \leq 10^5\)。 如果直接用阶乘求，可能在阶乘过程中出现了 \(p\)，而最后的结果没有出现 \(p\)，导致错误。 有两种解决方法： 1.求组合数时提前把 \(p\) 的质因子除掉。 2.L ......

射影定理 条件：\(AB\perp BC,BD\perp AC\)。 结论： \(AB^2=AD\times AC\) \(BC^2=CD\times CA\) \(BD^2=DA\times DC\) 线束定理 条件：\(DE//BC\)。 结论：\(\dfrac{DF}{FE}=\dfrac{B ......

### $\text{Description}:$ 给定一个长为 $s$ 序列 $a$，如果 $a_1 = \min_{i=1}^{r} a_i$。令 $a_{s + 1} = a_1$，有 $\forall i ,\left | a_i-a_{i+1} \right | =1$，我们称这个序列是良 ......

见到的一个小推广，但感觉挺有用，记录一下。 对于一个如下形式的网络最大流： 其左部边 \(a\) 能流满，当前仅当对于任意左部点点集 \(S\)，\(\sum\limits_{x\in S}a_x\le \sum\limits_{y\in T}b_y\)，其中 \(T\) 为 \(S\) 相邻的右部 ......

Hall 定理： Hall定理： 设一个二分图，V1<=V2。 则V1能完美匹配的条件是，对于所有点集S属于V1，V1能到达V2的点集S2，满足S2>=S1 ex_Hall定理： 设一个二分图，V1<=V2 则，这个图的最大匹配ans=min(|V1-S1|+|S2|)=|V1|-max(|S1|- ......

1.多项式回归介绍 在一元回归分析中，如果依变量y与自变量X的关系为非线性的，但是又找不到适当的函数曲线来拟合，则可以采用一元多项式回归 多项式回归的最大优点就是可以通过增加X的高次项对实测点进行逼近，直至满意为止。 事实上，多项式回归可以处理相当一类非线性问题，它在回归分析中占有重要的地位，因为任 ......

建立流体模型 对于一段流体 质量具有连续性，其密度为 \(ρ\) 流速为 \(v\) 流体横截面积为 \(S\) 微元研究 微元作用时间：\(Δt\) 微元作用长度：\(vΔt\) 则对应的质量为： \[Δm=ρSvΔt \]随后建立方程，应用动量定理研究即可。 ......

裴蜀定理 定义 裴蜀定理，又称贝祖定理（Bézout's lemma）。是一个关于最大公约数的定理。 其内容是： 设 \(a,b\) 是不全为零的整数，则存在整数 \(x,y\), 使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\). 证明 若任何一个等于 \(0\), 则 \(\gcd(a,b)=a\) ......

卢卡斯定理 引入 卢卡斯定理用于求解大组合数取模的问题，其中模数必须为素数。正常的组合数运算可以通过递推公式求解，但当问题规模很大，而模数是一个不大的质数的时候，就不能简单地通过递推求解来得到答案，需要用到卢卡斯定理。 定义 卢卡斯定理内容如下：对于质数 \(p\)，有 \[\binom{n}{m} ......

威尔逊定理 定义 威尔逊定理：对于素数 \(p\) 有 \((p-1)!\equiv -1\pmod p\)。 证明 我们知道在模奇素数 \(p\) 意义下，\(1,2,\dots ,p-1\) 都存在逆元且唯一，那么只需要将一个数与其逆元配对发现其乘积均为（同余意义下）\(1\)，但前提是这个数的 ......

传送门 容易想到求出竞赛图上最大环\(\le k\)的数量，再求出\(\le k-1\)的数量作差即可得到答案。 设指数型生成函数\(G(x)\)表示大小为\(i\)的环的方案数。 \(G(x)=\sum_{i=1}^k\frac{a_i}{i!}x^i\) 那么最大环\(\le k\)的数量\(= ......

matlab中polyfit函数的作用是对数据进行数据拟合 有些小伙伴可能搞不清楚polyfit和polyval之间的区别，这里就直接上我的笔记给大家看看吧 %% 普通的多项式拟合 clear;clc; num = 30; x = linspace(0,5,num); % 横轴数据 error = ......

费马小定理 定义 若 \(p\) 是质数，且 \(\gcd(a, p) = 1\)，则有 \(a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}\)。 另一个形式：对于任意整数 \(a\)，有 \(a^p \equiv a \pmod{p}\)。 证明 设一个质数为 \(p\)，我们取一个不为 ......

欧拉函数 互质：对于 \(\forall a, b \in \mathbb{N}\)， 若 \(a, b\) 的最大公因数为 \(1\) ， 则称 \(a, b\) 互质。 欧拉函数:即 $ \varphi (N)$, 表示从 \(1\) 到 \(N\) 中与 \(N\) 互质的数的个数。 在算术基 ......

P9816 少项式复合幂 给定多项式 \(f(x)=\sum_{i=1}^ma_ix^{b_i}\)。定义 \(f_1(x)=f(x)\)，\(f_n(x)=f(f_{n-1}(x))\)。 就是初始将 \(x\) 代入多项式，再将结果代入，总共代入 \(y\) 次。 根据提示发现模数 \(p\) ......

欧拉函数与欧拉定理 欧拉函数 定义 欧拉函数，即 \(\varphi(n)\)，表示的是小于等于 \(n\) 和 \(n\) 互质的数的个数。 比如说 \(\varphi(1) = 1\)。 当 n 是质数的时候，显然有 \(\varphi(n) = n - 1\)。 性质 欧拉函数是积性函数。 积 ......

题目 问有多少个长度为 \(n\) 的排列 \(P\) 满足 \(|P_i-i|=1\) 的 \(i\) 的个数恰好为 \(k\) 个 分析 设 \(dp_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 个数钦定 \(j\) 个数满足上述条件且现在 \(i\) 和 \(i+1\) 因此被占用的方案数。 那么 ......

引言 网络上有许多Hall定理的证明，但是对于Hall定理的几个推广的介绍却少之又少，因此本文来简单介绍一下 注：为了使这篇文章看起来简单易懂，本文将不会使用图论语言，会图论的朋友们可以自行翻译为图论语言。 背景： 在遥远的地方有一个神奇国家，这个国家有n个男生和m个女生（n m）。每个男生都喜欢着 ......

引言 什么是韦达定理？它描述了二次方程的两根关系： \[\cases{x_1x_2=\cfrac{c}{a}\\x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}} \]本文将简洁证明韦达定理。 证明 求根公式 我们知道求根公式： \[x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] ......

一个模多项式模数做 \(f(ax^3 + bx^2 + cx + d)\) 的可能好实现一些的方法。感觉就是把 EI 老师的某博客展开写了。 理性愉悦。确实常数不是很小，至少我这个做法是这样的。 首先处理一下，把任意的三次函数转化成特殊三次函数。可以拆成 \((x + d)\circ ax\circ ......

\(n!\) 中含素数 \(p\) 的幂次为 \(\displaystyle\sum_{i=1}\lfloor\frac{n}{p^{i}}\rfloor\) Kummer 定理：\({n+m\choose n}\) 中含素数 \(p\) 的幂次等于 \(p\) 进制下 \(n+m\) 的进位次数 ......