二项式定理 二项式 定理arrangement

我们来补习一下统计学习框架的正式模型。 输入 一个学习者可以访问以下内容 作用域集合 (Domain set)：一个任意的集合 \(\mathcal X\)，学习者的目标是对其上面的元素进行标记。 标签集合 (Label set)：所有可能的标签 \(\mathcal Y\)。许多时候被限制为 \( ......

这题首先上来会发现题目中的很多信息都是假的，核心就是问要构造一个\(x\)个点的完全图至少要多长的序列 我们把序列中相邻的两个元素看作图上的一条边，则可以把问题转化为：给一个\(x\)个点的完全图，问至少要走多长的路径才可以遍历图中的所有边至少一次 简单讨论下会发现当\(x\)为奇数时，此时图中每个 ......

锐角内的直角三角形的勾股定理只能求解90°直角三角形的问题，但是现实的需求不光只是90°内的三角，下文介绍用正弦、余弦定理帮助解任意角的问题。 正弦定理 适用场景 在以下的情形，我们可以用余弦定理： 已知三角形的两边和两边中间的夹角，求第三边； 已知三角形的三边，求其角度（如以下的例子）。 定理公式 ......

1 e-基、m-基与 p-基 整数分拆 设非负整数数列 λ:=(λ1,λ2,…) 只有有限项非零且（不严格）单调递减．定义长度 L(λ) 为其非零项元素个数；定义 S(λ) 为其非零项元素之和．此时称 λ 是整数 S(λ) 的一个长度为 L(λ) 的分拆． 由于分拆只有有限项非零，对大于等于 L(λ ......

CF1856E2 差点场切啊。 默认已会 E1。 考虑对 E1 进行优化，发现瓶颈在于背包。 设当前子树以 \(u\) 为根，容易发现 \(\sum siz_{v_i}=siz_u-1\)，显然要从这里下手。发现总值域较小是与普通背包不同的地方，要么个数少，要么值域小。不妨设背包的总容量为 \(W\ ......

-2^ 31的补码是-0.也就是 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 补码是原码取反加1 x&(-x) 是最低位为1的位为1，其余位为0. 中国剩余定理： m1,m2,.....,mn相互互质。 x=a1(modm1) x=a2(modm2) ... x= ......

关于LaSalle不变集定理的一个问题，原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/84639564 总体来说，lasalle不变集定理是为了解决在利用利亚普诺夫稳定性一种特例：构建的利亚普诺夫函数导数非负定，或者是半负定时，运动轨迹就会出现极限环的情况，此时是无法严格判定系 ......

裴蜀定理 先说一下什么是裴蜀定理吧 在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。 ——引自百度百科 定理的具体内容： 若 a , b a,ba,b 是整数,且 gcd ⁡ ( a , b ) = d \gcd(a,b)=dgcd(a,b)=d， ......

定义 定义矩阵的行列式： \[\det A=\sum_{\sigma}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{i=1}^nA_{i\sigma_i} \]\(\tau(\sigma)\) 是原排列的逆序对数。 性质： 若矩阵的某一行或某一列全为 \(0\)，则行列式为 \(0\)。 \( ......

感谢 APJifengc 指导 . 看了 xiaoziyao 的复合，大概理解 EI 的思路了，但是似乎细节上有一些问题，在此注记 . 下文「复合」均指右复合 . 前置内容 复合二次分式的内容可以参考参考文献 [2] . 复合 \(ax+b\) 先考虑如何复合 \(x+c\) . \[\begin{ ......

0. 哥德尔不完备定理 每个数学系统都存在一些语句永远无法被证明. 1. 哥德尔数 \(\hspace{0.1cm}\)符号\(\hspace{0.1cm}\) \(\hspace{0.1cm}\)哥德尔数\(\hspace{0.1cm}\) \(\hspace{0.1cm}\)含义\(\hspac ......

二项式反演两种形式： 子集： \(g_n\) 表示至多 \(n\) 个的方案数， \(f_n\) 表示恰好 \(n\) 个的方案数 \[g_n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} f_i \Leftrightarrow f_n = \sum_{i=0}^{n} (-1)^{n ......

New Year and Arbitrary Arrangement 思路： 期望题果然还是恶心呀！ 我们设 \(f[i][j]\) 表示当串中有 \(i\) 个 \(a\) 和 \(j\) 个 \(ab\) 时的方案数。为了方便，设 \(A=\dfrac{P_a}{P_a+P_b},B=\dfra ......

在阅读 CSDN 时看到的。对于 \(Fibonacci\) 数列。存在 \(Fibonacci_{2n} = Fibonacci_n \times(Fibonacci_{n-1}+Fibonacci_{n+1})\)。 证明： 我们知道 \(Fibonacci\) 有一个这个东西。 \(\begi ......

定理：相似矩阵特征多项式相同。 证明： \(|\rm PAP^{-1}-\lambda E|\) \(=|\rm PAP^{-1}-\lambda PP^{-1}|\) \(=|\rm (PA-\lambda P)P^{-1}|\) \(=|\rm P(A-P^{-1}\lambda P)P^{-1 ......

更熟悉的阅读体验？ 这是我之前写在 luogu 博客上的，只是现在才搬过来而已。QWQ 二项式系数 就是像 \(\dbinom{n}{m}\) 这样的东西。 对于非负整数 \(n,k\)，规定 \(\dbinom{n}{0}=1\) 及 \(\dbinom{n}{n}=1\)，\(k>n\) 则 \ ......

海涅定理描述的是函数极限与数列极限之间的关系。它的描述如下： 可以简单地理解为这样的式子： 数列的逼近与函数的逼近不同：函数可以连续地逼近一个点的两侧，而数列只能离散地逼近。 使用海涅定理求数列极限的例题： 先根据数列的样式改写出函数，再求函数的极限，函数极限得到后，根据海涅定理得到数列的极限（一般 ......

FFT const double pi=acos(-1.0); int rev[N]; void FFT(complex<double> *a,int nr,int flag){ for(int i=0;i<nr;i++){ if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]); } ......

下文中的“复合”默认为右复合。 复合 \(x+c\)： 展开后差卷积。 复合 \(e^x\)： \[\sum a_i(e^x)^i=\sum a_i\sum_j\frac{i^j}{j!}=\sum_{j}\frac{1}{j!}\sum_i\ a_ii^j \]只需计算 \(\sum_i\frac ......

分段点的导数是否可以用两侧导函数的极限来求？ 在以前有一个问题一直困扰着我，对于分段函数的导函数是否可以用两侧导函数的极限去求，我曾长期认为我这种想法没有问题，并且对于高中时期的题目我也一直这么干，也没错过，但我从未求证过，直到看到了导数极限定理才解开了我的疑惑。 以下先给出两侧导数的定义 \(f( ......

给出一个字符串 \(P\)，\(P\) 是由小写英文字母构成的。求总共有多少个不同的字符串 \(Q\)，使得下面两个条件同时成立： 字符串 \(Q\) 非空。 字符串连接得到 \(QQ\)，必须满足 \(QQ\) 是 \(P\) 的子序列。 因为 \(n\le 100\) 很小所以可以直接枚举第二次 ......

01容斥定理 容斥定理（简单情况）对任意两个有限集合 A 和 B ，有 =+- 其中，分别表示 A ，B 的元素个数． 推广结论：对于任意三个有限集合 A , B , C ，有 = ++ + 有限集合的计数方法1： 利用容斥定理的上述两个公式计算有限集合的元素个数． 有限集合的计数方法2： 文氏图法 ......

\(\mathscr{DF1}\quad:\varepsilon\)是\(n\)次单位根，即\(\varepsilon^n=1\)，则存在最小的正整数\(k\)使得\(\varepsilon^k=1\)（由带余除法，\(k\mid n\)），则称\(k\)为\(\varepsilon\)的阶，记作\ ......

以下代码必须开 -O2 #include <algorithm> #include <cassert> #include <cstdio> #include <cstring> #include <vector> using namespace std; #ifdef LOCAL #define d ......

切比雪夫函数$\psi(x)$和$\vartheta(x)$ / Chapter2 $\vartheta(x)$与$\pi(x)$的关系 / 素数定理的等价形式 ......

泊松定理内容 设实验\(E\)是由实验\(E_0\)形成的n重伯努利概型，\(A\)和\(\overline{A}\)是\(E_0\)的事件，\(P(A) = p_n\) , \(P(\overline{A})=1-p_n=q_n(0<p_n<1)\)则当\(n\rightarrow+\infty且 ......

洛谷P9349 题意 一种区间覆盖操作，可以考虑直接无脑线段树,复杂度为\(O(nlog_n)\)。 但是观察后发现可以开一个桶，记录这个数在序列中出现的最后一次的下标。循环扫一遍原序列，从小到大对于每一个a[i]，使得下标i到m[a[i]]的区间全部覆盖为a[i]。每次覆盖一个小区间后，因为前面的 ......

配合 多项式操作 食用 只要把最高次幂为 \(vector.size()\) 的多项式直接传入即可。 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; ......

Lucas定理 定义 对于质数 \(p\)，有：$$\dbinom{n}{m} \mod p=\dbinom{n \mod p}{m \mod p} \dbinom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor} \mod p$$ ......

全文链接：https://tecdat.cn/?p=33742 原文出处：拓端数据部落公众号 简介 在选择最佳拟合实验数据的方程时，可能需要一些经验。当我们没有文献信息时该怎么办？我们建立模型的方法通常是经验主义的。也就是说，我们观察过程，绘制数据并注意到它们遵循一定的模式。 例如，我们的客户可能观 ......