数论 结论
【学习笔记】数论之生成函数基础
## 前言 一直不是很会生成函数，但是平常遇到的数论题，很多地方都是会用到生成函数，现在正好有了时间可以搞一搞 未来说不定会补上 NTT。 ## FFT （下文极有可能有一些加一减一的不合理的地方，可能以后会修修） 如果不会 FFT 那么生成函数肯定就完全做不了题了。（写过一篇不过当时根本不理解，胡 ......
第十五节 数论 - 2
## A. 循环与非 **题目描述** 给定长度为 $n$ 的序列 {$a_n$}，每一个数字都不超过 $2$ 的 $k$ 次方。给定 $m$ 次操作，每次操作形如： `0 x y` ：将 $a[x]$ 改为 $y$。 `1 x y` ：令 $t=y$ NAND $a[0]$ NAND $a[1]$ ......
第十四节 数论
[$$\text{建议阅读}$$](https://www.cnblogs.com/So-noSlack/p/17569390.html) ## A. 优美子数列 **题目描述** 数学家小 $Q$ 得到了一个长度为 $n$ 的数列 {$a_n$}。 小 $Q$ 的幸运数字是 $k$，所以他认为，若 ......
图论中的实用定理与结论
结合 [图论中的概念与定义](https://www.cnblogs.com/Lkkaknoi/p/17524786.html) 食用更佳。 ## 网络流与二分图 - Konig定理：最小点覆盖 = 最大匹配（[proof](http://www.matrix67.com/blog/archives ......
解析数论之数论函数【其一】
> ###### @Coding: Typora+LaTeX > > ###### @Author : [DorinXL](https://dorinxl.gitee.io/)（[博客](https://www.cnblogs.com/DorinXL/)） > > ###### @Time : 20 ......
基础数论
Upd on 2023.1.12 **添加了整除分块和莫比乌斯反演。** Upd on 2023.7.22 **重新排版，添加、删去了一些内容，修改了一些晦涩难懂的描述，开放阅读。** ### $$\huge\textbf{0x01}\ \large\textbf{数论入门}$$ > "质数是指在大 ......
解析数论之数论函数（积性函数、广义卷积、形式幂级数、数论函数的导数）
> ###### @Coding: Typora+LaTeX > > ###### @Author : [DorinXL](https://dorinxl.gitee.io/)（[博客](https://www.cnblogs.com/DorinXL/)） > > ###### @Time : 20 ......
基础数论Ⅲ-Ⅰ
# 狄利克雷卷积 ## 定义 两个数论函数 $f,g$ 的狄利克雷卷积被定义为 $$h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$ 简记作 $h=f*g$，另一个常用的等价形式是： $$(f*g)(n)=\sum_{xy=n}f(x)g(y)$$ ## 性质与结论 狄利克雷卷 ......
数论板子
### exgcd 点击查看代码 ``` __int128 exgcd(__int128 as,__int128 bs,__int128 &x,__int128 &y){ if(bs==0){ x=1; y=0; return as; } __int128 ans=exgcd(bs,as%bs,y, ......
基础数论Ⅱ
## 中国剩余定理 ### 内容 考虑形如下列形式的方程组： $$\begin{cases}x\equiv a_1\pmod {m_1}\\x\equiv a_2\pmod {m_2}\\...\\x\equiv a_n\pmod {m_n}\end{cases}$$ 当 $m_1,m_2,\dot ......
基础数论Ⅰ
## 欧拉函数 ### 定义与性质 一个数的欧拉函数被定义为**小于等于**$^{①}$该数的与该数互质的数的个数，记作 $\varphi(n)$，这是一个积性函数$^②$。 ### 计算 根据定义，可以得出 $\varphi(n)$ 的计算式： $$\varphi(n)=\sum_{i=1}^n[ ......
newcoder61132F <结论：排序最小交换次数>
### 题目 [松鼠排序](https://ac.nowcoder.com/acm/contest/61132/F) n个不同的数，任意交换位置进行排序，其最小交换次数。 ### 思路 结论：$最小交换次数=n - r$，其中$r$为置换环个数。 参考：https://www.cnblogs.com ......
数论分块
## 概念 我们考虑这样一个问题：求 $\sum_{i=1}^{k} \lfloor \dfrac{n}{i} \rfloor$ 我们以 $n=7,k=7$ 为例子，先画出 $f(x) = \dfrac{7}{x} \ (1 \leq x \leq 7)$ 的图像 $ 。 ##### 证明： 1. $a==0$ $or$ $b==0$ 显然成立； 1. 设 ......
数论专题练习
# 数论专题练习 ## [A - Beautiful Numbers](https://vjudge.csgrandeur.cn/contest/542598#problem/A) ### 题意：输入a，b，n，求只包含a，b的n位数并且n位之和为a或b的数量 * 枚举a和b的数量，判断它们的和是否 ......
数论的杂七杂八
# 数论 ## 最大公约数 ( $gcd(a,b)$ ) * 由欧几里得定理可知gcd(*b*,*a* mod *b*) ```c++ ll gcd(ll a,ll b) { if(b == 0) return a; else return gcd(b,a%b); } ``` * 顺便得出两数的最小 ......
整除分块（数论分块）
整除分块是为了解决一个整除的求和的问题：sum(floor(n/i))(1<=i<=n) ，如果直接暴力计算复杂度O（n），但整除分块的复杂度为O（2sqrt(n)），其中的2为常数，可以忽略，那么复杂度为O(sqrt(n)) 下面给出整除分块的模板代码 #include<bits/stdc++.h ......
[初等数论]欧几里得算法：最大公因数/公因式求解算法的数学证明与程序实现
# [初等数论]欧几里得算法：最大公因数/公因式求解算法的数学证明与程序实现 对广大数学或计算机爱好者来说，找两个数的公因数向来是绕不过去的问题．本文将带大家用小学二年级的知识推出上述问题的最优算法：欧几里得算法，并展示其程序实现．以下是本文索引： 1. 欧几里得算法 1. 简洁的定义 2. 快速的 ......
数论
## 算法 ### 记号 $a \mod p$：$a$ 除 $p$ 的余数，等于 $a - p \times \lfloor \frac{a}{p} \rfloor$。 $a \mid b$：$a$ 整除 $b$ 即$a$ 是 $b$ 的因数。 ### 素数判定 #### 试除法 对于任意整数 $n ......
数论基础
数论基础 导读：快速幂取模、欧式筛法、裴蜀定理（贝祖定理）、威尔逊定理、费马定理、（扩展）中国剩余定理。 ### 快速幂取模 求$a^b \% p$我们有时间复杂度$O(b)$的办法。但数据规模放大时，我们的显示界面难免会出现一个老熟人 `TLE`，我们需要更**快**的方法。 根据初中数学，$a^ ......
[数论]阶、原根和指数方程
# Order and primitive root and exponential equations(阶、原根和指数方程) ## 一、概念 ### 1、阶 阶：$a^x ≡1 (\bmod m)$上面的x就是阶 ### 2、原根 $\bmod m$的阶为$\phi(m)$的数 ### 3、指数方 ......
快速数论变换NTT学习笔记
首先我们要明确一个方向，就是 $\text{FFT}$ 的原理是单位根的几个性质：
- 消去原理： $\omega_{tn}^{tk}=\omega_{n}^k$
- 对称原理：$\omega_{n}^{k}=-\omega_n^{k+\frac n 2}$
- $\omega_{n}^k=(\o... ......
[数论]数论函数/莫比乌斯反演
# 数论函数/莫比乌斯反演 ## 1.1积性函数 数论函数：可以认为是定义在整数上的函数。 #### 1)积性函数定义 (a,b) = 1,f(a,b) = f(a)f(b) #### 2)积性函数性质 1. **对于积性函数$f$，是被所有$p^e$处的值决定的** a = 1,f(b) = f( ......
初等数论
# 初等数论 ## $\mathcal{P}art$ 1.基础概念 + 整除 对两个正整数 $a$，$b$（$b\le a$），如果存在一个整数 $k$ 使得 $a=kb$，则称 $b$ 整除 $a$，记作 $b|a$ + 带余除法 对任何整数 $a$ 和正整数 $b$，一定存在一个整数 $r\in ......
Dreaming of Freedom(数论,贪心)
用nsqrt(n)的时间复杂度就能过 //Dreaming of Freedom:https://codeforces.com/problemset/problem/1826/C #include <bits/stdc++.h> //#define int long long using names ......
基础数论知识
# 前言 基础数论知识。 original edition 2023.3.29。 upd 2023.6.19：为明天听 zyw 大佬讲课复习，并优化 Latex。 upd 2023.6.20：新增扩展欧几里得，同余最短路，逆元，中国剩余定理。 # 知识点 ## 线性筛 1. 原理：让每个数被它最小质 ......
数论
### 类欧几里德 $\text{令}\space f(a,b,c,n)=\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{ai+b}{c}\rfloor$ $f(a,b,c,n)=\frac{n(n+1)}{2}\lfloor\frac{a}{c}\rfloor+(n+1)\lfloor\frac ......
Add Modulo 10(数论,思维,数学,规律)
思路：找规律 情况一：尾数为$5$或$0$ 为$5$时进行一次操作变成$0$的情况。 而尾数是 0 时操作无意义，所有数必须相等。 情况二：尾数为 1,3,7,9 可进行一次操作变成情况三。 情况三：尾数为 2,4,6,8 我们通过找规律发现： 2⇒4⇒8⇒16⇒224⇒8⇒16⇒22⇒246⇒12 ......
初等数论（Ⅳ）：狄利克雷卷积和各类反演
# 前置知识 ## 积性函数 满足 $f(1)=1$，并且当 $\gcd(a,b)=1$ 时，有 $f(ab) = f(a)f(b)$，则称 $f(n)$ 为积性函数。 如果对于全部的 $a,b$，都有 $f(ab)=f(a)f(b)$，则称 $f(n)$ 是完全积性函数。 ### 常见积性函数 1 ......