数论 结论

加法原理 若完成一件事的方法有 \(n\) 类，其中第 \(i(1 \le i \le n)\) 类方法包括 \(a_i\) 种不同的方法，且这些方法互不重合，则完成这件事共有 \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\) 种不同的方法。 乘法原理 若完成一件事的步骤有 \(n\) 个， ......

对于一个概率 \(p\)，设它能提供的期望值为命中此概率的次数。那么保持这个概率直至命中此概率的期望值为 \(\frac{1}{p}\) 证明： \[\begin{aligned} \sum\limits_{i = 1}^{\infty} (1 - p) ^ {i - 1} * p * i &= p ......

目录： 目录点-点点-线\(P \notin L\) 不在线上\(P \in L\)点-面\(P\notin \pi\)点在面上\(P \in \pi\) 略线-线位置关系\(L_1=L_2\) (重合)\(L_1 // L_2\) (平行)\(L_1 \cap L_2 = P\)(相交)\(L_1 ......

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int P=1e9+7; int mod(int a){//求模 return ((a%P)+P)%P; } int add(int a,int b){//加法 a=mod(a); b=mod(b ......

算法部分 杜教筛 \[S(n) = \sum_{i = 1}^{n}f(i) \]要求 \(f\)积性，且能被表示为 \(f* h = g\)，而 \(g\) 的前缀和与 \(h\) 的点值是好求的。 考虑展开狄利克雷卷积。 \[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} f* ......

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int P=1e9+7; int mod(int a){//求模 return ((a%P)+P)%P; } int add(int a,int b){//加法 a=mod(a); b=mod(b ......

整除 若 \(a / b (b \ne 0)\) 为整数，则称 \(b\) 整除 \(a\) ，记作 \(b \mid a\) 。若 \(a / b\) 和 \(c / b\) 的余数相等，则称 \(a, c\) 模 \(b\) 同余。 同余 关于同余，有以下命题等价： \(a\) 和 \(b\) ......

01 先讲结论 很多人在初入职场时，大都是在学校里的说话方式：因为什么原因，所以怎样。在学校里这样说很正常，但在职场上，不是写文章、发邮件、做笔记和跟上级沟通，最好是先讲结论。在最短的时间内把必要信息传达给对方。 PREP 的原则： POINT =结论 REASON =依据 EXAMPLE =具体事 ......

一、应用情景 求 \(\sum\limits_{i = 1}^{n} g(i)\lfloor\frac n i\rfloor,n\leq 10 ^{12}\) 二、常见结合 莫比乌斯反演 …… 三、算法原理&代码实现 实际上，\(~\lfloor \frac n i\rfloor~\)的取值其实最多 ......

目录 前言 数论基础 1.1 整除 1.2 带余除法，同余 质数 2.1 唯一分解定理 2.2 质数筛（线性筛） 2.3 欧拉函数 最大公因数/最小公倍数 3.1 辗转相除法 3.2 裴蜀定理 3.2 扩展欧几里得算法 线性同余方程 4.1 费马小定理 4.2 欧拉定理 4.3 逆元 4.4 求解线 ......

0 前言 闲的没事的时候可能会摸鱼写一写，都是些非常基础的东西。 最高大概会写到 exCRT 和 exBSGS 吧，阶和原根往后的我也不会了，但是前面的内容会时不时来补充。 为了方便偷懒，许多定理不会给出证明。 1 基本概念 \(\gcd(a,b)\) 或者 \((a,b)\)：\(a,b\) 的最 ......

题目 给定一个长度为 \(2n-1\) 的字符串，问一组使得 \(n\) 个长度不小于 \(n\) 的区间中字母W的个数相等的字母W的个数 分析 首先结论就是 \(\max_{i=1}^n\{cW[i\dots i+n-1]\}\) 一定是合法解 以这组解为基准，左右端点如果向外扩展那么个数一定会更 ......

数论分块 在P2424偶然学到了这个算法，觉得很有意思，于是单拎出来再学习一下。 数论分块，又叫整数分块，解决 f(n) = \sum_{i=1}^{n}g(i) \times \lfloor \frac{n}{i} \rfloor 一类问题。观察发现 \lfloor \frac{n}{i} \rf ......

Base Sieve base Dirichlet Convolution Sqrt Decomposition 会挖坑，好让复习的时候长脑子。 以下所有 \(p\) 都是质数，即 \(p\in\mathbb{P}\)，同时默认均为正整数。 Base 唯一分解定理（算术基本定理）： \[\begin ......

筛法 当我们需要获取一个区间内的所有素数的时候，我们肯定会想到筛法。 比较常见的是埃氏筛和线性筛。 他们的实现难度不高，但核心思想有所不同。 埃氏筛 考虑一个 $p \in \mathbb{P}$ 和任意一个一个大于 $2$ 的正整数 $x$，$\forall y = xp, y \notin \m ......

Codeforces Round 891 (Div. 3) F. Sum and Product 思路：对于x,y：ai+aj=x —> aj=x-ai 因此 ai*(x-ai) = y ——> ai = (x 土 sqr( x^2 - 4y ) ) /2 对应的 ai 就是要的两个值 若两个值不同 ......

IT服务管理即ITSM正在进入云端，并不断发展以支持移动员工，随着IT服务管理(ITSM)进入云端并发展为支持移动员工，它将迎来一个有趣的时代。ManageEngine的市场分析师表示，随着终端用户对ITSM解决方案的期望开始反映消费者应用程序的期望，帮助台将进行调整以适应不断变化的需求。 某风险投 ......

扩展欧几里得 1.扩展欧几里得 用于求解\(ax + by = gcd(a,b)\)的解，利用辗转相除法构造出x，y的通解 当\(b = 0\)时，\(ax + by = a\)，可令\(x = 1，y = 0\) 当\(b \neq 0\)时，因 $gcd(a, b)$ $=$ gcd(b,a % ......

Infinite Precision: (0)数是什么？以有限的数元，度量与表示无限的现象、事物与状态，作为整个数学科学理论的根基。 以Binary二进制为例, 有{0,1}, Constant/Dynamic系统建模上，两种state(状态)？0->1与1->0代表“change变化”？ 而Dec ......

这些结论在点双大小不小于 3 时成立。 对于点双中不同的三个点 \(x,y,z\)，存在以 \(x,z\) 为端点，经过 \(y\) 的简单路径 对于点双中不同的两个点 \(x,y\)，存在经过 \(x,y\) 的简单环。 对于点双中一个点 \(x\) 和一条边 \(e\)，存在经过 \(x,e\) ......

记录做题时遇到的一些结论，随时更新。 \(x+y=(x\ \& \ y) << 1 + x \oplus y\) \[\] 若 \(a \oplus b=\gcd(a,b)\)，那么有 \(a-b=a \oplus b\)。 证明： 设 \(a>b\)， 因为 \(a-b \leq a \oplus ......

（不全，会一种就更一种...） \(1、Cayley-Hamilton\) 定理 **\(Cayley-Hamilton\) 定理： ** 设 \(A\) 是环 \(R\) 上的 \(n \times n\) 矩阵，记 \(f(\lambda) = \det(\lambda I - A)\) 为其特 ......

数论——集合符号大全 \(\mathbb N\)：自然数集合 \(\{0, 1, 2, 3, \dots\}\) \(\mathbb N^*\) 或 \(\mathbb N^+\)：正整数集合 \(\{1, 2, 3, \dots\}\) \(\mathbb Z\)：整数集合 \(\{\dots, ......

数论——欧拉函数、欧拉定理、费马小定理 欧拉函数 定义 欧拉函数（Euler's totient function），记为 \(\varphi(n)\)，表示 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。 也可以表示为：\(\varphi(n) = \sum\limits_{i = ......

数论——欧拉函数、欧拉定理 欧拉函数 定义 欧拉函数（Euler's totient function），记为 \(\varphi(n)\)，表示 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。 也可以表示为：\(\varphi(n) = \sum\limits_{i = 1}^n [ ......

数论——线性同余方程、乘法逆元 众所周知： 说明 除非特殊说明，以下提到的 exgcd 函数均定义为： // ax + by = gcd(a, b) ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y, ll d = 0) { if (b == 0) x = 1, y = 0, d ......

回顾:FFT FFT（快速傅立叶变换）学习 - Isakovsky - 博客园 (cnblogs.com) 目的:将多项式的系数表示法形式转换为点值表示法形式,或者说,快速计算出多项式在若干个点上的值. 中心思想:适当地选取自变量,使得自变量两两互为相反数,求出的多项式值可重复利用,减少运算次数 例 ......

数论——欧几里得算法和扩展欧几里得算法 引入 最大公约数 最大公约数即为 Greatest Common Divisor，常缩写为 gcd。 一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。\(\pm 1\) 是任意一组整数的公约数； 一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个。 最 ......

最小点覆盖： 定义：选择最少的点，使得每条边都有一端被选。 结论：二分图的最小点覆盖等于二分图最大匹配 构造方案：从所有左侧未匹配的点出发，先走一条未匹配边，然后走一条匹配边，把所有走过的点标记，选择左边所有未标记的点和右边所有标记的点。 最大独立集 定义：选择最多的点，使得他们之间两两没有边。 结 ......

在系数均为整数的时候，可以用NTT代替FFT，这样不会出现精度问题。 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long lld; const int N = 20000005; const lld g = 3, mod = ......