定理 结论

微分中值定理 罗尔定理 观察下图 设曲线 \(AB\) 是函数 \(y=f(x) (x \in [a,b])\) 的图形. 图中两端点的纵坐标相等，即 \(f(a) = f(b)\) 可以发现在曲弧线的最高点 \(C\) 处或最低点 \(D\) 处，曲线有水平的切线. 记 \(C\) 点的横坐标为 ......

开篇碎碎念： 在咕咕咕的接近两周时间内看了些数论，但是由于对于latex的不熟悉所以就没有整理笔记出来，总的来说就是学了下exgcd、crt。然后回老家玩了一阵子所以咕咕咕。今天啃一啃欧拉函数&欧拉定理之类的，然后就可以组合数学启动啦！ヽ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ 欧拉函数 参考博文：Plozia的欧拉函数 定 ......

我们在证明弱大数定理的时候运用了Markov不等式\(\Pr[\left|\dfrac{S_n}{n}\right|^2>\varepsilon^2]\leq\dfrac{E\left[\left(\frac{S_n}{n}\right)^2\right]}{\varepsilon^2}\)。现在我 ......

Kirchhoff 矩阵树定理的无向图情况 定义 无向图无自环。 设 \(G\) 为包含 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图。 设 \(\deg(i)\) 表示顶点 \(i\) 的度数，\(E(i,j)\) 表示顶点 \(i\) 与 \(j\) 连边的条数。 记边 \(i\) 的起点为 \( ......

前置知识 有向图游戏概念。 单个有向图游戏中 \(\textrm{SG}\) 函数的求值（\(\textrm{mex}\) 运算）。 以上内容请自行查阅，这里不会多说。 前言 本文受启发于 OI Wiki，采用相同的数学归纳法进行证明，但对计算的原理进行了补充，也补足了一些细节。 网上许多 \(\t ......

我们现在要讨论能否用机器完成证明的问题。在这里，我们所说的机器就是指图灵机。但为了讨论的方便，我们在这里使用一个图灵机的等价模型寄存器机。它有\(m\)个用来存放符号串的内存，能够写入某个内存末尾加字符、减字符、跳转、打印和停机五种指令。一个寄存器机程序（简称程序）就是有限条寄存器机上的指令（且最后 ......

算数基本定理 定理 对于整数 \(a > 1\)，必有 \(a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_s^{a_s}\)，其中 \(p_j(1\leq j\leq s)\) 是两两不相等的质数，\(a_j(1\leq j\leq s)\) 表示对应质数的幂次。在不计次序的意义下，该分解 ......

https://www.acwing.com/activity/content/competition/problem_list/3648/ B题收获： 1.利用题目告诉的结论：1e9范围质数之差小于300 2.一个数不被2-a的任何数整除 等价于他的最小质因子需要大于a c题：初步宏观思路：不难想 ......

本文参考知乎大神明月清风的圆锥曲线一类定点问题研究。 首先给出 Frégier 定理： 定理（Frégier定理）：设有圆锥曲线 \(E\) 及其上一定点 \(P\)，设 \(E\) 上两点 \(B,C\) 满足 \(A\) 在以 \(BC\) 为直径的圆上，则直线 \(BC\) 过定点 \(D\) ......

前言 以前写过一篇关于二次方程根的分布问题的博文，感觉思路混乱，也不想再修改，故重新开一篇博文探讨这个问题，初次尝试用零点存在定理来分析二次方程根的分布，自编题目，有待商榷，希望多提宝贵意见。 典例分析 为了降低思维的难度，我们首先看这个比较特殊的例子， 已知函数 \(f(x)=-x^2+2x+1- ......

题目链接 ：H-数学_2023 中国大学生程序设计竞赛（CCPC）新疆赛区 (nowcoder.com) 题意 ： 有数学知识可知： 本题如果根据贪心， 每个先用最大的数来凑，会出错，比如12 == 9 + 1 + 1 + 1， 但是答案是12 == 4 + 4 + 4，就会出错 题解思路dp[], ......

我们讨论何为“证明”。一个证明过程实际上是在给定条件的基础上，反复运用始终可以使用的基本规则，最后推演出想要的结论的过程。这个过程可以形式化地描述，称为Sequent Calculus。由formula集合\(\Phi\)能“证明”出formula \(\varphi\)，记为\(\Phi \vda ......

裴蜀定理 在数论中，裴蜀等式（英语：Bézout's identity）或裴蜀定理（Bézout's lemma）（或称贝祖等式）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数 \(a\) 和 \(b\) 和 \(m\)，关于未知数 \(x\) 和 ......

对于一个信号，我们想对其进行采样转化成数字信号，显然，当我们采样频率越改，我们所能保留的信息越多，但是当高采样频率对我们的采样设备要求也高，我们希望找到采样频率和模拟信号频率之间的一些关系 有模拟信号$x_(t)\(，我们对其进行理想采样，即采样信号\)\hat{(t) =}x(t)\sum\lim ......

如果ABQ三点共线，则OQ=a*OA+b*OB，且a+b=1，其中O表示不在直线AB上的任意点，当然如果原点不在直线AB上，用原点也是成立的。 参考 向量三点共线定理 (baidu.com) 向量的三点共线定理及应用_百度知道 (baidu.com) ......

题目描述 给定一张 \(n\) 个结点 \(m\) 条边的带权图（可能为无向图，可能为有向图）。 定义其一个生成树 \(T\) 的权值为 \(T\) 中所有边权的乘积。 求其所有不同生成树的权值之和，对 \(10^9+7\) 取模。 注意： 本题中，有向图的生成树指的是 以 \(1\) 为根的外向树 ......

总结一下就是,如果是坐标系或者向量绕着固定的坐标轴旋转,相当于每转一次产生一个旋转矩阵,然后按旋转顺序将这些旋转矩阵左乘起来.如果是坐标系或者向量绕着自身的坐标轴旋转,相当于每转一次产生一个旋转矩阵,然后按旋转顺序将这些矩阵右乘起来.要注意后者的每一步旋转产生的旋转矩阵,不要以世界坐标系为基准去算, ......

中国剩余定理及其扩展定理 学习笔记 中国剩余定理，又叫孙子定理，最早出现在我国古代著作《孙子算经》中，OI 中常称其为 CRT(China Remainder Theorem)。 问题 CRT 用于求解线性同余方程组问题，且模数互质： \[(a_1, a_2, ..., a_n) = 1\\\beg ......

一、离散时间鞅 定义离散时间鞅为一个时间离散的随机过程 \(X_0, X_1, \ldots\)，使得 \(\forall n \in \mathbb{N}\)，均满足： \(E(|X_n|) < \infty\)。 \(E(X_{n + 1} - X_n \mid X_0, X_1, \ldots ......

1. 奈氏准则 奈氏，定义极限传输速率，为 2W LB(V) -- LB() 以二为底的对数， V是电平数。例如，0001 电平数为 4; 【例1】 在无噪声的情况下，若某通信链路的带宽为3kHz,采用4个相位，每个相位具有四种振幅的QAM调制技术，则该通信链路的最大数据传输率是多少？ 信号有 4× ......

启示 在生活中,你的结论需要经得起你的推敲 场景 每天我们会接触很多很多的事,我们会从这些事情得到很多启发很多结论 这些结论会影响我们做很多很多的决定 怎么做? 当我们自己思考得出一个结论时,我们需要去反反复复推敲这个结论,这个总结 推导一个结论,一般我们会通过类比/归纳/总结,然后得到一个结论 这 ......

对于一个概率 \(p\)，设它能提供的期望值为命中此概率的次数。那么保持这个概率直至命中此概率的期望值为 \(\frac{1}{p}\) 证明： \[\begin{aligned} \sum\limits_{i = 1}^{\infty} (1 - p) ^ {i - 1} * p * i &= p ......

卢卡斯定理/Lucas 定理 引入 求 \(C_{n+m}^n \mod p\)。 \(n,m,p \leq 10^5\)。 如果直接用阶乘求，可能在阶乘过程中出现了 \(p\)，而最后的结果没有出现 \(p\)，导致错误。 有两种解决方法： 1.求组合数时提前把 \(p\) 的质因子除掉。 2.L ......

射影定理 条件：\(AB\perp BC,BD\perp AC\)。 结论： \(AB^2=AD\times AC\) \(BC^2=CD\times CA\) \(BD^2=DA\times DC\) 线束定理 条件：\(DE//BC\)。 结论：\(\dfrac{DF}{FE}=\dfrac{B ......

见到的一个小推广，但感觉挺有用，记录一下。 对于一个如下形式的网络最大流： 其左部边 \(a\) 能流满，当前仅当对于任意左部点点集 \(S\)，\(\sum\limits_{x\in S}a_x\le \sum\limits_{y\in T}b_y\)，其中 \(T\) 为 \(S\) 相邻的右部 ......

Hall 定理： Hall定理： 设一个二分图，V1<=V2。 则V1能完美匹配的条件是，对于所有点集S属于V1，V1能到达V2的点集S2，满足S2>=S1 ex_Hall定理： 设一个二分图，V1<=V2 则，这个图的最大匹配ans=min(|V1-S1|+|S2|)=|V1|-max(|S1|- ......

建立流体模型 对于一段流体 质量具有连续性，其密度为 \(ρ\) 流速为 \(v\) 流体横截面积为 \(S\) 微元研究 微元作用时间：\(Δt\) 微元作用长度：\(vΔt\) 则对应的质量为： \[Δm=ρSvΔt \]随后建立方程，应用动量定理研究即可。 ......

目录： 目录点-点点-线\(P \notin L\) 不在线上\(P \in L\)点-面\(P\notin \pi\)点在面上\(P \in \pi\) 略线-线位置关系\(L_1=L_2\) (重合)\(L_1 // L_2\) (平行)\(L_1 \cap L_2 = P\)(相交)\(L_1 ......

裴蜀定理 定义 裴蜀定理，又称贝祖定理（Bézout's lemma）。是一个关于最大公约数的定理。 其内容是： 设 \(a,b\) 是不全为零的整数，则存在整数 \(x,y\), 使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\). 证明 若任何一个等于 \(0\), 则 \(\gcd(a,b)=a\) ......

卢卡斯定理 引入 卢卡斯定理用于求解大组合数取模的问题，其中模数必须为素数。正常的组合数运算可以通过递推公式求解，但当问题规模很大，而模数是一个不大的质数的时候，就不能简单地通过递推求解来得到答案，需要用到卢卡斯定理。 定义 卢卡斯定理内容如下：对于质数 \(p\)，有 \[\binom{n}{m} ......