二项式 二项式定理 定理
实数完备性基本定理
  上的 DFT时间复杂度规避除法实现细节参考资料参考文献参考代码 前言 所谓“任意类型”，事实上指的是一种代数结构 \(\mathcal{A}=(D,+,\cdo ......
Taylor定理
 ，计算 \(n\) 个元素的集合 \(\{1,2,\cdots,n\}\)，所有非空子集和的乘积取模 \(998 \, 244 \, 353\) 后的结果。 Input 一个正整数 \(n\) \((1\le n\le200)\)，代 ......
机器学习-线性回归-多项式升维-07
目录1. 为什么要升维2 代码实现3, 总结 1. 为什么要升维 升维的目的是为了去解决欠拟合的问题的，也就是为了提高模型的准确率为目的的，因为当维度不够时，说白了就是对于预测结果考虑的因素少的话，肯定不能准确的计算出模型。 在做升维的时候，最常见的手段就是将已知维度进行相乘来构建新的维度，如下图所 ......
鞅与停时定理 例题记录
鞅与停时定理，一个很厉害的东西，感觉像是一种势能分析。 关于它具体是什么，笔者的数学水平还不足以讲述，所以在这里推广一下：概率论科技：鞅与停时定理 - littleZ_meow 的小窝。 下面的写法可能很不专业，请自行避雷。 给出一种很 OI 的解释：你需要设计一个函数 \(f(x)\)，有次能够得 ......
Matrix-Tree 定理
行列式求值 交换矩阵 \(A\) 两行，\(\det(A') = -\det(A)\) 。 将矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行乘 \(k\) 后，\(\det(A') = k\times\det(A)\)。 将矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行乘 \(k\) 后加到第 \(j\) 行上，\ ......
亲情的欧拉定理
欧拉定理指出 产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下， 假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。 白话版 如果总量不变的前提下 产出的产品正好足够分配给各个要素 增加了要素 每个要素就会减少 生产硬件不更新，本质不变化，分配不是无限的 亲情 人的的爱总量是有限的 小时候我们分配了给 ......
微分中值定理
微分中值定理 一、罗尔定理 内容 如果函数 \(f(x)\) 满足： 在 \([a,b]\) 上连续； 在 \((a,b)\) 内可导； 在区间端点处的函数值相等，即 \(f(a)=f(b)\)。 那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi(a<\xi<b)\) 使得函数 \(f(x)\) ......
AtCoder Beginner Contest 331 G - Collect Them All【概率期望+容斥+多项式】
题目链接：ABC331_G 写在前面 将来如果回顾这道题，建议自己看完题意一定先重新推一遍。如果还是不够熟练，多去做一些同类型的题目吧。 题意： 盒子里有 \(N\) 张卡片，每张卡片上写着一个数字，数字的范围是 \(1,...,M\)，写着数字 \(i\) 的卡片有 \(C_i\) 张\(（C_i ......
微分中值定理
微分中值定理 罗尔定理 观察下图 设曲线 \(AB\) 是函数 \(y=f(x) (x \in [a,b])\) 的图形. 图中两端点的纵坐标相等，即 \(f(a) = f(b)\) 可以发现在曲弧线的最高点 \(C\) 处或最低点 \(D\) 处，曲线有水平的切线. 记 \(C\) 点的横坐标为 ......
【数论】欧拉函数 欧拉定理&费马小定理 12.8学习小结
开篇碎碎念： 在咕咕咕的接近两周时间内看了些数论，但是由于对于latex的不熟悉所以就没有整理笔记出来，总的来说就是学了下exgcd、crt。然后回老家玩了一阵子所以咕咕咕。今天啃一啃欧拉函数&欧拉定理之类的，然后就可以组合数学启动啦！ヽ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ 欧拉函数 参考博文：Plozia的欧拉函数 定 ......
中心极限定理
我们在证明弱大数定理的时候运用了Markov不等式\(\Pr[\left|\dfrac{S_n}{n}\right|^2>\varepsilon^2]\leq\dfrac{E\left[\left(\frac{S_n}{n}\right)^2\right]}{\varepsilon^2}\)。现在我 ......
<学习笔记> 二项式反演
容斥原理 容斥原理的式子 \[|A1∪A2∪...∪An|=\sum_{1≤i≤n}|Ai|−\sum_{1≤i<j≤n}|Ai∩Aj|+...+(−1)^{n−1}×|A1∩A2∩...∩An| \]一般来说不会直接用容斥原理这个式子，而是考虑一种特殊情况：交集的大小只与交集的数量有关。也就是说， ......
Kirchhoff 矩阵树定理的无向图情况
Kirchhoff 矩阵树定理的无向图情况 定义 无向图无自环。 设 \(G\) 为包含 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图。 设 \(\deg(i)\) 表示顶点 \(i\) 的度数，\(E(i,j)\) 表示顶点 \(i\) 与 \(j\) 连边的条数。 记边 \(i\) 的起点为 \( ......
SG定理证明
前置知识 有向图游戏概念。 单个有向图游戏中 \(\textrm{SG}\) 函数的求值（\(\textrm{mex}\) 运算）。 以上内容请自行查阅，这里不会多说。 前言 本文受启发于 OI Wiki，采用相同的数学归纳法进行证明，但对计算的原理进行了补充，也补足了一些细节。 网上许多 \(\t ......
转置原理与多项式多点求值
终于学转置原理了，之前一直听 zhy 糊多项式题不知道他在讲写啥。 自己的多项式水平长期停留在多项式除法，直到今天做互测时被迫学了怎么去多点求值。正式比赛大概率不考（吧？）所以学来娱乐一下。 普通多点求值算法 思想很妙，效率很逊。代码不写了因为我连多项式取模都忘了怎么写了。 考虑类似 CRT 和拉插 ......
哥德尔不完备性定理
我们现在要讨论能否用机器完成证明的问题。在这里，我们所说的机器就是指图灵机。但为了讨论的方便，我们在这里使用一个图灵机的等价模型寄存器机。它有\(m\)个用来存放符号串的内存，能够写入某个内存末尾加字符、减字符、跳转、打印和停机五种指令。一个寄存器机程序（简称程序）就是有限条寄存器机上的指令（且最后 ......
算数基本定理
算数基本定理 定理 对于整数 \(a > 1\)，必有 \(a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_s^{a_s}\)，其中 \(p_j(1\leq j\leq s)\) 是两两不相等的质数，\(a_j(1\leq j\leq s)\) 表示对应质数的幂次。在不计次序的意义下，该分解 ......
以 Frégier 定理为背景的一类圆锥曲线定点定值问题学习笔记
本文参考知乎大神明月清风的圆锥曲线一类定点问题研究。 首先给出 Frégier 定理： 定理（Frégier定理）：设有圆锥曲线 \(E\) 及其上一定点 \(P\)，设 \(E\) 上两点 \(B,C\) 满足 \(A\) 在以 \(BC\) 为直径的圆上，则直线 \(BC\) 过定点 \(D\) ......
用零点存在定理看二次方程根的分布
前言 以前写过一篇关于二次方程根的分布问题的博文，感觉思路混乱，也不想再修改，故重新开一篇博文探讨这个问题，初次尝试用零点存在定理来分析二次方程根的分布，自编题目，有待商榷，希望多提宝贵意见。 典例分析 为了降低思维的难度，我们首先看这个比较特殊的例子， 已知函数 \(f(x)=-x^2+2x+1- ......
MATLAB绘制前21个Zernike多项式，按照径向级次$n$垂直排序，角向级次$m$水平排序
目录结果代码参考和拓展阅读 结果 代码 clear all;close all;clc; % Define the range for n and m n_values = 0:5; pixels=100;%image x,y pixels %%The transverse and longitud ......
欧氏空间上正规算子极小多项式的不可约分解诱导出全空间的正交直和分解
  题意 ： 有数学知识可知： 本题如果根据贪心， 每个先用最大的数来凑，会出错，比如12 == 9 + 1 + 1 + 1， 但是答案是12 == 4 + 4 + 4，就会出错 题解思路dp[], ......
任意模数多项式模板--zhengjun
using LL=__int128; int mod=998244353; ll qpow(ll x,ll y=mod-2,ll ans=1){ for(;y;(x*=x)%=mod,y>>=1)if(y&1)(ans*=x)%=mod; return ans; } mt19937 rnd(time ......
多项式模板--zhengjun
vector 实现。 using LL=__int128; const int mod=998244353; ll qpow(ll x,ll y=mod-2,ll ans=1){ for(;y;(x*=x)%=mod,y>>=1)if(y&1)(ans*=x)%=mod; return ans; } ......
哥德尔完备性定理
我们讨论何为“证明”。一个证明过程实际上是在给定条件的基础上，反复运用始终可以使用的基本规则，最后推演出想要的结论的过程。这个过程可以形式化地描述，称为Sequent Calculus。由formula集合\(\Phi\)能“证明”出formula \(\varphi\)，记为\(\Phi \vda ......
【未完善】多项式全家桶
#include <iostream> #include <cmath> #include <cctype> #include <functional> #include <algorithm> #include <vector> #define UP(i,s,e) for(auto i=s; i< ......
【算法】裴蜀定理
裴蜀定理 在数论中，裴蜀等式（英语：Bézout's identity）或裴蜀定理（Bézout's lemma）（或称贝祖等式）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数 \(a\) 和 \(b\) 和 \(m\)，关于未知数 \(x\) 和 ......
算法学习笔记(41): 朴素多项式算法
朴素多项式算法 - \(O(n^2)\) 合集 我们并不需要 NTT，就算需要，也只是用来优化乘法。 多项式求逆 对于多项式 \(\sum a_i x^i\) 我们需要构造出一个多项式 \(\sum b_i x^i\) 使得： \[\begin{cases} a_0 b_0 = 1 \\ \sum_ ......