定理 中值 微积分newton-leibniz
欧拉函数和欧拉定理
欧拉函数 欧拉函数:定义\(\varphi (n)\)表示不超过\(n\)的与\(n\)互质的正整数个数 特别的：\(\varphi (1)=1\) 给出一些例子： \(\varphi (2)=1,\varphi (3)=2,\varphi (4)=2,\varphi (5)=4\) 不难得出若\( ......
实数完备性基本定理
  ^2\\ =\frac{1}{n}(\sum a_i^2-2\overline {a}\sum a_i+n\overline a^2)\\ =(\frac{1}{n}-\frac{1}{n ......
贡献法+经典背包+费马小定理
SDUT 校赛题目 Description 给定正整数 \(n\)，计算 \(n\) 个元素的集合 \(\{1,2,\cdots,n\}\)，所有非空子集和的乘积取模 \(998 \, 244 \, 353\) 后的结果。 Input 一个正整数 \(n\) \((1\le n\le200)\)，代 ......
鞅与停时定理 例题记录
鞅与停时定理，一个很厉害的东西，感觉像是一种势能分析。 关于它具体是什么，笔者的数学水平还不足以讲述，所以在这里推广一下：概率论科技：鞅与停时定理 - littleZ_meow 的小窝。 下面的写法可能很不专业，请自行避雷。 给出一种很 OI 的解释：你需要设计一个函数 \(f(x)\)，有次能够得 ......
Matrix-Tree 定理
行列式求值 交换矩阵 \(A\) 两行，\(\det(A') = -\det(A)\) 。 将矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行乘 \(k\) 后，\(\det(A') = k\times\det(A)\)。 将矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行乘 \(k\) 后加到第 \(j\) 行上，\ ......
亲情的欧拉定理
欧拉定理指出 产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下， 假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。 白话版 如果总量不变的前提下 产出的产品正好足够分配给各个要素 增加了要素 每个要素就会减少 生产硬件不更新，本质不变化，分配不是无限的 亲情 人的的爱总量是有限的 小时候我们分配了给 ......
微积分 A1 要点整理
期中考试前太鸽了就不补了，这里主要是期中考试之后的部分。 不定积分 不定积分的本质：找原函数。 称函数 \(F\) 为 \(f\) 的原函数，当且仅当对于 \(f\) 定义域中的所有 \(x\)，都有 \(F'(x)=f(x)\)。 记 \(\int f(x)\mathrm dx\) 为 \(f\) ......
微分中值定理
微分中值定理 一、罗尔定理 内容 如果函数 \(f(x)\) 满足： 在 \([a,b]\) 上连续； 在 \((a,b)\) 内可导； 在区间端点处的函数值相等，即 \(f(a)=f(b)\)。 那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi(a<\xi<b)\) 使得函数 \(f(x)\) ......
微分中值定理
微分中值定理 罗尔定理 观察下图 设曲线 \(AB\) 是函数 \(y=f(x) (x \in [a,b])\) 的图形. 图中两端点的纵坐标相等，即 \(f(a) = f(b)\) 可以发现在曲弧线的最高点 \(C\) 处或最低点 \(D\) 处，曲线有水平的切线. 记 \(C\) 点的横坐标为 ......
微积分
微积分 一、函数与极限 极限是啥？极限就是你可以无限逼近你的女神，但是你永远追不到；极限就是你可以无限逼近死亡，但是你妈妈打你绝对不会把你打死；极限就是你可以天天奖励直至巅峰，但是你一定到不了极乐世界。 开个玩笑。那么极限到底是啥呢？请听我细细说来。 1.1数列的极限 数列，就是一排数搁这儿依次排队 ......
【数论】欧拉函数 欧拉定理&费马小定理 12.8学习小结
开篇碎碎念： 在咕咕咕的接近两周时间内看了些数论，但是由于对于latex的不熟悉所以就没有整理笔记出来，总的来说就是学了下exgcd、crt。然后回老家玩了一阵子所以咕咕咕。今天啃一啃欧拉函数&欧拉定理之类的，然后就可以组合数学启动啦！ヽ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ 欧拉函数 参考博文：Plozia的欧拉函数 定 ......
中心极限定理
我们在证明弱大数定理的时候运用了Markov不等式\(\Pr[\left|\dfrac{S_n}{n}\right|^2>\varepsilon^2]\leq\dfrac{E\left[\left(\frac{S_n}{n}\right)^2\right]}{\varepsilon^2}\)。现在我 ......
Kirchhoff 矩阵树定理的无向图情况
Kirchhoff 矩阵树定理的无向图情况 定义 无向图无自环。 设 \(G\) 为包含 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图。 设 \(\deg(i)\) 表示顶点 \(i\) 的度数，\(E(i,j)\) 表示顶点 \(i\) 与 \(j\) 连边的条数。 记边 \(i\) 的起点为 \( ......
SG定理证明
前置知识 有向图游戏概念。 单个有向图游戏中 \(\textrm{SG}\) 函数的求值（\(\textrm{mex}\) 运算）。 以上内容请自行查阅，这里不会多说。 前言 本文受启发于 OI Wiki，采用相同的数学归纳法进行证明，但对计算的原理进行了补充，也补足了一些细节。 网上许多 \(\t ......
Dirichlet积分的三种证明方法
  和 u = g(x)，则复合函数 y = f(g(x))。 我们要求导复合函数 y 对于 x 的导数，即求 dy/dx。 根据链式法则，dy/dx = dy/du * du/dx。 其中，d ......
哥德尔不完备性定理
我们现在要讨论能否用机器完成证明的问题。在这里，我们所说的机器就是指图灵机。但为了讨论的方便，我们在这里使用一个图灵机的等价模型寄存器机。它有\(m\)个用来存放符号串的内存，能够写入某个内存末尾加字符、减字符、跳转、打印和停机五种指令。一个寄存器机程序（简称程序）就是有限条寄存器机上的指令（且最后 ......
生活记录：和大师姐及实验室师兄弟一起吃鸡公煲留念——集积分兑换“毛绒玩具小猪”
在实验室时每每出去聚餐吃饭总是喜欢去附近的鸡公煲，那家也是有个积分兑换毛绒玩具的活动，虽然最后也没有攒够积分而那家店在疫情中也没有熬过去，不过当年吃鸡公煲时是一直惦记着这个玩偶的，虽然未能实现自己的小目标但是这个经历还是蛮值得纪念的。 可爱的毛绒玩具——“小粉猪” ......
算数基本定理
算数基本定理 定理 对于整数 \(a > 1\)，必有 \(a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_s^{a_s}\)，其中 \(p_j(1\leq j\leq s)\) 是两两不相等的质数，\(a_j(1\leq j\leq s)\) 表示对应质数的幂次。在不计次序的意义下，该分解 ......
以 Frégier 定理为背景的一类圆锥曲线定点定值问题学习笔记
本文参考知乎大神明月清风的圆锥曲线一类定点问题研究。 首先给出 Frégier 定理： 定理（Frégier定理）：设有圆锥曲线 \(E\) 及其上一定点 \(P\)，设 \(E\) 上两点 \(B,C\) 满足 \(A\) 在以 \(BC\) 为直径的圆上，则直线 \(BC\) 过定点 \(D\) ......
用零点存在定理看二次方程根的分布
前言 以前写过一篇关于二次方程根的分布问题的博文，感觉思路混乱，也不想再修改，故重新开一篇博文探讨这个问题，初次尝试用零点存在定理来分析二次方程根的分布，自编题目，有待商榷，希望多提宝贵意见。 典例分析 为了降低思维的难度，我们首先看这个比较特殊的例子， 已知函数 \(f(x)=-x^2+2x+1- ......
数学_四平方定理
题目链接 ：H-数学_2023 中国大学生程序设计竞赛（CCPC）新疆赛区 (nowcoder.com) 题意 ： 有数学知识可知： 本题如果根据贪心， 每个先用最大的数来凑，会出错，比如12 == 9 + 1 + 1 + 1， 但是答案是12 == 4 + 4 + 4，就会出错 题解思路dp[], ......
哥德尔完备性定理
我们讨论何为“证明”。一个证明过程实际上是在给定条件的基础上，反复运用始终可以使用的基本规则，最后推演出想要的结论的过程。这个过程可以形式化地描述，称为Sequent Calculus。由formula集合\(\Phi\)能“证明”出formula \(\varphi\)，记为\(\Phi \vda ......
考研数学笔记：在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想
在计算无穷限积分的时候，要注意应用极限的思想 对于含有反三角函数的积分可以用对应的三角函数代换求解 如何通过通解还原微分方程？ 判断微分方程解的形式有时候需要分类讨论 ......