线性代数

最近几天讲图论，不得不猛搞，于是用了一两天时间：高斯消元 -> 行列式 -> Matrix-Tree定理 -> LGV引理 怕忘，写篇笔记。 高斯消元 一个用来解多元方程组的消元法。 就是以最常见的消元思路，从第一元到最后一元一个一个将除了本行系数以外的所有系数消为零，可以想象，如果我们将方程的系数 ......

线性代数——高斯消元 引入 消元法 消元法是将方程组中的一方程的未知数用含有另一未知数的代数式表示，并将其带入到另一方程中，这就消去了一未知数，得到一解；或将方程组中的一方程倍乘某个常数加到另外一方程中去，也可达到消去一未知数的目的。消元法主要用于二元一次方程组的求解。 矩阵表示线性方程组 例如，将 ......

线性代数——矩阵 引入 矩阵 一般用圆括号或方括号表示矩阵，形如： \(A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ......

### 欧几里得空间 **前面我们一直提到了空间这个概念，比如二维空间、三维空间等等，并在此基础上拓展到 $n$ 维空间，尽管当时并没有对空间做明确的定义，但相信大家也能理解。然而数学是严谨的，必须要有严格的定义，那么接下来就从数学的角度看看什么是空间。** **空间是一个集合，不管是几维的，都可以 ......

# 微分方程和$e^{At}$ ## 微分方程$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au$ 本讲主要讲解解一阶方程（first-order system）一阶导数（first derivative）常系数（constant coefficient）线性方程，上一讲介绍了如 ......

**关于斐波那契数列计算第n个数，使用矩阵特征向量和特征值求解：** Fibonacci 数列的定义是：$F(0)=0$，$F(1)=1$ 并且对于 $n>1$，$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$。我们可以使用线性代数中的特征向量和特征值来求解 Fibonacci 数列。 首先，我们可以将 F ......

### 线性组合 **回忆一下向量的两个最基本的运算：** + **向量加法：$\vec{v} + \vec{w}$** + **向量乘法：$k\vec{v}$** **这两个基本运算构建了线性代数中最重要的一个概念：线性组合。对于若干个 $n$ 维向量 $\vec{v_{1}}, \vec{v_{ ......

### 什么是线性系统 **系统这个概念有点抽象，之前学的矩阵就可以看作是一个系统，线性系统和初中学的线性方程组是比较类似的。比如：** $\begin{cases}x + 2y = 5\\3x+4y = 6\end{cases}$ **但这里的重点是线性，所谓线性就是，未知数只能是一次方项。像 $ ......

### 更多的变换矩阵 **之前我们说矩阵可以看作是向量的函数，矩阵可以改变一个点的坐标，比如将一个点的横坐标扩大 a 倍，纵坐标扩大 b 倍，那么就可以让如下矩阵与之相乘。** $T = \begin{Bmatrix}a & 0\\0 & b\end{Bmatrix}$ **本次就来介绍更多的变换 ......

### 什么是矩阵 **前面我们介绍了向量，它是线性代数中最基本的元素，但提到线性代数，估计更多人第一时间想到的是矩阵（Matrix）。** **$\begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{Bmat ......

### 规范化和单位向量 **在了解完向量的基础知识后，我们来探讨更多和向量有关的高级话题。首先向量是一个有向线段，由原点指向空间中的某一个点，所以向量除了具有方向之外，还应该具有大小。比如有两个向量 $\vec{u}$、$\vec{w}$，分别是 $(3, 4)^{T}$、$(4, 3)^{T}$ ......

### 什么是向量 **我们在初等数学的时候，研究的都是一个数，而到线性代数，我们将从研究一个数拓展到研究一组数，而一组数的基本表示方法就是****向量（Vector）****。向量是线性代数研究的基本元素，它就是一组数，比如 $(1, 2, 3)$ 就是一个向量。那么问题来了，向量究竟有什么作用呢 ......

3.1 矩阵和向量 这一节对矩阵和向量的概念进行描述，不再赘述。 3.2 加法和标量乘法 矩阵和矩阵的加法：对应元素相加 矩阵和标量乘法：矩阵的每个元素都与标量相乘 3.3 矩阵向量乘法 以及 3.4 矩阵乘法 都可以看作是矩阵乘法，第i行乘第j列，对应元素相乘再相加，然后放到结果矩阵的第i行第j列 ......

#### 1.特征值和特征向量 **特征值和特征向量的定义：** 对于n阶矩阵A，如果存在一个数λ以及非零n维列向量α，使得 **Aα = λα** 成立 则称λ是矩阵A的一个**特征值**。非零向量α是**矩阵A属于特征值的一个特征向量**。 >这个式子可以写成**(λE-A)α = 0，α≠0* ......

#### 1.如何求齐次方程组的基础解系 前面已经学过： 基础解系的定义为：一个向量组中**所有的向量都是原方程的解**，并且**线性无关**，又**能由这个向量组线性表出这个方程组的所有解**。 先讲齐次方程组是因为它右侧常数都为0，解起来更为简单。 步骤：先对齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，直 ......

> 本文是斯坦福大学CS 229机器学习课程的基础材料，[原始文件下载](http://cs229.stanford.edu/summer2019/cs229-linalg.pdf) > 原文作者：Zico Kolter，修改：Chuong Do， Tengyu Ma > > 翻译：[黄海广](ht ......

#### 1.线性方程组的基本概念 齐次/非齐次线性方程组的概念在高数中已经涉及过了。  非齐次线性方程组 ......

[TOC] [原文链接](https://www.cnblogs.com/alex-wei/p/LinearAlgebra.html) # 0x00 行列式 ## 0x01 定义 关于数学定义式：$$\sum_{p}(-1)^{\tau(p)} \prod_{i=1}^{n}A_{i,p_i}$$ ......

#### 1.向量组的秩 **极大线性无关组**的定义：  >注意： 同一个向量组可能有很多不同的极大线性 ......

# 线性代数 ##前言： 最近咕咕咕了好久了，1是因为换了教室，2是因为很多题在做，没时间，3则是因为上了线性代数。 [toc] ## 矩阵 在c++中，矩阵可以用二维数组来表示，但是乘法的运算有点不同，要重新定义 ### 矩阵的基本运算 1.加/减/数乘运算：直接一一对应直接运算即可 2.乘法运算 ......

 1.用公式，将求逆转化为**求伴随矩阵和行列式** 2.根据性质，可逆矩阵一定可以写成一系列初等矩阵乘 ......

### 前言 **线性代数**（linear algebra）是关于向量空间和线性映射的一个数学分支。它包括对线、面和子空间的研究，同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。 本文主要介绍**机器学习**中所用到的线性代数**核心基础概念**，供读者学习阶段查漏补缺或是**快速学习参考**。 ### 线 ......

# 线性代数 在高铁上听了听线性代数的课，概念有点多，怕忘了。 ## 行列式 ### 一些基础的东西 **N(A)**:排列 $A$ 的逆序数。 **2阶行列式:**$A = \begin{vmatrix}a & b\\c &d\end{vmatrix} = ad-bc$ **3阶行列式:**$A ......

## 导航 - [向量](#向量) - [基向量](#基向量) - [特征向量](#特征向量) - [矩阵](#矩阵) - [行列式](#行列式) - [逆矩阵](#逆矩阵) - [矩阵与方程组](#矩阵与方程组) - [秩](#秩) - [满秩](#满秩) - [列空间](#列空间) - [零空间 ......

以下是线性代数考研复习提纲的 Markdown 格式示例： ## 线性代数考研复习提纲 ### 1. 矩阵与行列式 - 矩阵的基本概念与运算 - 矩阵的转置、逆与秩 - 行列式的定义与性质 - 行列式的计算方法 ### 2. 向量空间与线性变换 - 向量空间的基本性质与子空间 - 线性相关性与线性无 ......

```python x = torch.arange(4) print(x) print(x[3]) print(len(x)) print(x.shape) ``` ```python tensor([0, 1, 2, 3]) tensor(3) 4 torch.Size([4]) ``` >一些 ......

## 7/19 ### [[ABC189E] Rotate and Flip](https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc189_e) ### 题意： **给定在二维平面上的一些点，给定 $m$ 次操作，为顺时针转 $\frac{\pi}{2} $，逆时针旋转 $ ......

#### 1.1初等变换和初等矩阵的概念 **初等变换的概念：** 初等变换并不是一个运算操作，而是一类对矩阵的操作的统称 对于m×n矩阵A： （1）倍乘：对A的某行或某列元素乘上一个非零常数k （2）互换：互换A的某两列或某两行元素的位置 （3）倍加：将A的某行或某列元素的k倍加到另一行或列上 这 ......

#### （1）行列式的概念 行列式是一个**数值**，是**不同行不同列**元素乘积的**代数和**  ......

本文内容非常初等。 ### 基础知识 来不及了，先凑活一下吧。 [向量](https://oiwiki.org/math/linear-algebra/vector/) [向量运算](https://oiwiki.org/math/linear-algebra/product/) ### 解方程 线 ......