二项式定理

引言 什么是韦达定理？它描述了二次方程的两根关系： \[\cases{x_1x_2=\cfrac{c}{a}\\x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}} \]本文将简洁证明韦达定理。 证明 求根公式 我们知道求根公式： \[x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] ......

\(n!\) 中含素数 \(p\) 的幂次为 \(\displaystyle\sum_{i=1}\lfloor\frac{n}{p^{i}}\rfloor\) Kummer 定理：\({n+m\choose n}\) 中含素数 \(p\) 的幂次等于 \(p\) 进制下 \(n+m\) 的进位次数 ......

我们来补习一下统计学习框架的正式模型。 输入 一个学习者可以访问以下内容 作用域集合 (Domain set)：一个任意的集合 \(\mathcal X\)，学习者的目标是对其上面的元素进行标记。 标签集合 (Label set)：所有可能的标签 \(\mathcal Y\)。许多时候被限制为 \( ......

锐角内的直角三角形的勾股定理只能求解90°直角三角形的问题，但是现实的需求不光只是90°内的三角，下文介绍用正弦、余弦定理帮助解任意角的问题。 正弦定理 适用场景 在以下的情形，我们可以用余弦定理： 已知三角形的两边和两边中间的夹角，求第三边； 已知三角形的三边，求其角度（如以下的例子）。 定理公式 ......

CF1856E2 差点场切啊。 默认已会 E1。 考虑对 E1 进行优化，发现瓶颈在于背包。 设当前子树以 \(u\) 为根，容易发现 \(\sum siz_{v_i}=siz_u-1\)，显然要从这里下手。发现总值域较小是与普通背包不同的地方，要么个数少，要么值域小。不妨设背包的总容量为 \(W\ ......

-2^ 31的补码是-0.也就是 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 补码是原码取反加1 x&(-x) 是最低位为1的位为1，其余位为0. 中国剩余定理： m1,m2,.....,mn相互互质。 x=a1(modm1) x=a2(modm2) ... x= ......

关于LaSalle不变集定理的一个问题，原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/84639564 总体来说，lasalle不变集定理是为了解决在利用利亚普诺夫稳定性一种特例：构建的利亚普诺夫函数导数非负定，或者是半负定时，运动轨迹就会出现极限环的情况，此时是无法严格判定系 ......

裴蜀定理 先说一下什么是裴蜀定理吧 在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。 ——引自百度百科 定理的具体内容： 若 a , b a,ba,b 是整数,且 gcd ⁡ ( a , b ) = d \gcd(a,b)=dgcd(a,b)=d， ......

定义 定义矩阵的行列式： \[\det A=\sum_{\sigma}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod_{i=1}^nA_{i\sigma_i} \]\(\tau(\sigma)\) 是原排列的逆序对数。 性质： 若矩阵的某一行或某一列全为 \(0\)，则行列式为 \(0\)。 \( ......

0. 哥德尔不完备定理 每个数学系统都存在一些语句永远无法被证明. 1. 哥德尔数 \(\hspace{0.1cm}\)符号\(\hspace{0.1cm}\) \(\hspace{0.1cm}\)哥德尔数\(\hspace{0.1cm}\) \(\hspace{0.1cm}\)含义\(\hspac ......

二项式反演两种形式： 子集： \(g_n\) 表示至多 \(n\) 个的方案数， \(f_n\) 表示恰好 \(n\) 个的方案数 \[g_n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} f_i \Leftrightarrow f_n = \sum_{i=0}^{n} (-1)^{n ......

在阅读 CSDN 时看到的。对于 \(Fibonacci\) 数列。存在 \(Fibonacci_{2n} = Fibonacci_n \times(Fibonacci_{n-1}+Fibonacci_{n+1})\)。 证明： 我们知道 \(Fibonacci\) 有一个这个东西。 \(\begi ......

更熟悉的阅读体验？ 这是我之前写在 luogu 博客上的，只是现在才搬过来而已。QWQ 二项式系数 就是像 \(\dbinom{n}{m}\) 这样的东西。 对于非负整数 \(n,k\)，规定 \(\dbinom{n}{0}=1\) 及 \(\dbinom{n}{n}=1\)，\(k>n\) 则 \ ......

海涅定理描述的是函数极限与数列极限之间的关系。它的描述如下： 可以简单地理解为这样的式子： 数列的逼近与函数的逼近不同：函数可以连续地逼近一个点的两侧，而数列只能离散地逼近。 使用海涅定理求数列极限的例题： 先根据数列的样式改写出函数，再求函数的极限，函数极限得到后，根据海涅定理得到数列的极限（一般 ......

分段点的导数是否可以用两侧导函数的极限来求？ 在以前有一个问题一直困扰着我，对于分段函数的导函数是否可以用两侧导函数的极限去求，我曾长期认为我这种想法没有问题，并且对于高中时期的题目我也一直这么干，也没错过，但我从未求证过，直到看到了导数极限定理才解开了我的疑惑。 以下先给出两侧导数的定义 \(f( ......

01容斥定理 容斥定理（简单情况）对任意两个有限集合 A 和 B ，有 =+- 其中，分别表示 A ，B 的元素个数． 推广结论：对于任意三个有限集合 A , B , C ，有 = ++ + 有限集合的计数方法1： 利用容斥定理的上述两个公式计算有限集合的元素个数． 有限集合的计数方法2： 文氏图法 ......

切比雪夫函数$\psi(x)$和$\vartheta(x)$ / Chapter2 $\vartheta(x)$与$\pi(x)$的关系 / 素数定理的等价形式 ......

Lucas定理 定义 对于质数 \(p\)，有：$$\dbinom{n}{m} \mod p=\dbinom{n \mod p}{m \mod p} \dbinom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor} \mod p$$ ......

数论——欧拉函数、欧拉定理、费马小定理 欧拉函数 定义 欧拉函数（Euler's totient function），记为 \(\varphi(n)\)，表示 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。 也可以表示为：\(\varphi(n) = \sum\limits_{i = ......

数论——欧拉函数、欧拉定理 欧拉函数 定义 欧拉函数（Euler's totient function），记为 \(\varphi(n)\)，表示 \(1 \sim n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。 也可以表示为：\(\varphi(n) = \sum\limits_{i = 1}^n [ ......

Master Theorem 用途 一种用于计算递归时间复杂度的定理。 比如对于一个时间复杂度递推式：\(T(n)=T(n/2)+O(n)\), 可以浅显地看出它的复杂度为\(O(nlog_2n)\),因为我们这样子的递归写了太多次了。 但我们可以看到\(T(n)=4T(n/2)+n\), 它的复杂 ......

掌握闭区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理的内容及证明。会运用这些定理证明相关题目，如 例1、例2。注意定理成立的条件。 重点习题：第1、3、5、7。 博雷尔（Borel）（1871年1月7日 -1956年2月3日），是法国数学家。他的一生成就甚丰，对数学分析、函数论、数论、代数、几何、数学物理、概率 ......

假设有递推关系式 \(T(n) = aT(\frac n b )+ f(n)\)， 其中 \(T(n)\) 为问题规模， \(a\) 为递推的子问题的数量，\(\frac n b\) 为每个子问题的规模（假设每个字问题规模基本一样），\(f(n)\) 为递推以外进行的计算工作。\(a \geq 1, ......

本文中设\(H\)是一个\(\Phi\)(\(\Phi=\mathbb{R}\)或\(\mathbb{C}\))上的Hilbert空间. 命题1.设\(C\)是\(H\)中的一个闭凸集, \(x\notin C\), 则存在唯一的\(x_0\in C\)使得\(\|x-x_0\|=\inf_{y\i ......

掌握柯西中值定理和洛必达法则，能够熟练运用洛必达法则求不定式的极限。 注意罗尔定理，拉格朗日定理和柯西中值定理之间的递进关系与几何意义。 重点习题：第3、4、5题。 纪尧姆·弗朗索瓦·安托万·洛必达侯爵（Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital ......

盖斯定理（Gibbs' theorem）：在化学反应中，系统的自由能变化等于反应物和生成物的摩尔自由能之差乘以温度。 亨利定律（Henry's law）：在恒定温度下，气体与溶液之间的平衡状态是由气体的分压与其在溶液中的摩尔溶解度之间的线性关系决定。 表面张力定律（Surface tension l ......

欧拉方程：描述液体中气泡的运动和演化。 牛顿第一定律：一个物体如果受力为零，将保持静止或匀速直线运动。 牛顿第二定律：F=ma，描述物体的加速度与施加在物体上的力的关系。 牛顿第三定律：对于每个作用力都存在一个相等大小、方向相反的反作用力。 万有引力定律：描述两个物体之间引力的大小与距离的平方成反比 ......

显然，当所有有向图的SG都为0的时候，游戏和的SG也为0 当游戏和的SG不为0的时候，设此SG为x，x二进制下最高位1的位置为k，那么肯定至少存在一个有向图的SG的第k位也是1，设这个有向图的SG为y，那么这个有向图此时可以移动的后继显然0~y-1都出现过，所以可以将这个有向图的SG变为y xor ......

中国剩余定理(CRT) 中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 \(m_1, m_2, m_3,\cdots\) 两两互质）： \[\left\{ \begin{array}{rcl} x \equiv a_1 \bm ......

在分布式系统中，有一个著名的理论定理被称为CAP定理（CAP theorem），它描述了在一个分布式系统中三个关键属性的权衡：一致性（Consistency）、可用性（Availability）和分区容错性（Partition Tolerance）。 根据CAP定理，一个分布式系统无法同时满足一致性 ......