高中 数学

Intro 给定两个多项式 \(f,g\)，求出 \(f\cdot g\)。 \(\Theta(n^2)\) 的算法是 trivial 的。 那么如果 \(\deg f,g \leq 10^6\) 呢？ 这就不得不用到 FFT（快速傅里叶变换）/NTT（快速数论变换） 了。 Basis Comple ......

组合数学 二项式定理 ​ $ (a + b)^n = \sum \limits_{i = 0}^{n} \dbinom {n} {i} a^i b^{n - i} $ ​ 证明 ： 考虑组合意义，对于一项 \(a^i b^{n - i}\) ，需要在 \(n\) 个 \((a + b)\) 中选出 ......

记录一下： 最近发现了一本好书《程序员数学：用Python学透线性代数和微积分》。每次读到困难的地方想放弃了，经过思考竟然又明白了。结果几次想放下不看了，明白之后又开始继续啃。 2023年10月24日16:29:09 ......

\(\displaystyle f(x) = \sum_{i=1}^n x \bmod i\) 对于一个i，枚举k 对于[xk, x(k+1) )，中的数，贡献的形式都为a[i]-i*k 直接差分维护即可 #include<cstdio> #include<algorithm> #include<c ......

mysql数学计算 一、取整函数 1、向上取整 CEIL(X) 和 CEILING(X)：返回大于等于 X 的最小 INT 型整数。 SELECT CEIL(2.3) -- 3 2、向下取整 FLOOR(X)：返回小于等于 X 的最大 INT 型整数。 SELECT FLOOR(2.3) -- 2 ......

群论 群 \((G,\cdot)\)：指 满足 封闭性 (\(\forall a,b\in G,a\cdot b\in G\))、 结合律 (\(\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\))， 唯一存在 单位元 (\(\exist ......

同余 同余定义：\(n|a-b\Leftrightarrow a\equiv b\pmod n\). 性质： 若 \(a\equiv b\pmod n\)，则 \(a,b\) 对 \(n\) 作带余除法的余数相同。 自反性：\(a\equiv b\pmod n\Rightarrow b\equiv ......

咕咕咕 # 整除 ## 定义 1.1 - 整除 $a\mid b$ 指 $\exists n \in \mathbb{Z}$ 使得 $an=b$ 满足传递性： $a\mid b,b\mid c$ .则 $a\mid c$ 可加减性： $n\mid a,n\mid b$ .则 $n\mid a\pm ......

归纳与递推 不完整，待后人补充 博弈论 无平局无运气的游戏绝对有必胜策略。 \(n\) 颗糖，A，B 轮流取 \(2^k\) 个，取完最后一个的获胜。 第一制胜点：0 递推： 能到制胜点的都必败； 无论怎么走都是必败点才是制胜点。 猜： \(P(3k)=1,P(3k+1)=0,P(3k+2)=0\) ......

逻辑, 集合, 计数与映射 咕咕咕 逻辑集合计数 逻辑 命题：指可以判断对错的叙述. 真值：若命题为真则为真(\(1\))，否则为假(\(0\)). 充分必要：\(p \Rightarrow q\) 指 \(p\) 推出 \(q\)，\(p\) 为 \(q\) 充分条件，\(q\) 为 \(p\) ......

咕咕咕 逻辑集合计数 逻辑 命题：指可以判断对错的叙述. 真值：若命题为真则为真(\(1\))，否则为假(\(0\)). 充分必要：\(p \Rightarrow q\) 指 \(p\) 推出 \(q\)，\(p\) 为 \(q\) 充分条件，\(q\) 为 \(p\) 必要条件(可以理解为判定和性 ......

1.定义$$ 2.定义数列\(\{a\}\)：\(a_1=1,a_{n+1}=a_n^2+1\) 1.证明：当\(n\)能被\(3\)整除，\(a_n\)能被\(5\)整除。 写出\(\{a\mod 5\}\)的前四项：\(1,2,0,1\)，所以数列的循环节为3，且\(a_{3k}\mod 5=0 ......

矩阵微分基础知识 定义 重要结论 应用 定义 (1) 向量对标量求导 矩阵对标量求导 我们可以看到上述求导过程实际上就是不同函数对变量求导，然后按照向量或者矩阵的形式排列，注意这里结果的结构应该与函数的结构保持一致 (2)标量对向量求导 标量对矩阵求导 这里的理解使同一个函数对不同的变量求导，然后注 ......

目录方阵的特征值与特征向量特征方程特征子空间小结参考 方阵的特征值与特征向量 特征方程 定义：设\(A=\begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}\)是n阶方阵，若有λ和非零向量x，使得 \[\tag{1} Ax=λx \]成立，则称λ为方阵A的特征值，非零向量x为A的属于 ......

koishi的数学题 题目描述 Koishi 在 Flandre 的指导下成为了一名数学大师，她想了一道简单的数学题。 输入一个整数 $n$，设 $\displaystyle f(x) = \sum_{i=1}^n x \bmod i$，你需要输出 $f(1), f(2), \ldots , f(n ......

这边就是一些求导公式 然后n阶导的表示方法，d表示微分 然后这个就是一个骚操作，就是一直迭代，然后得到 然后正弦函数求导周期是四 ......

格式：练习题所在页-答案所在页 12-454： 15-454： 24-455： 26-455： 答案455页笔误： 41-456： 42-456： 59-457： 65-458： 答案458页笔误： 答案458页笔误： 86-459： 98-459： 106-460： 118-461： 141-46 ......

2019版人教A版最新教材高中数学课后习题答案，共112页，包含五本书，高一使用的是必修第一册，第二册，高二使用的选择性必修第一册，第二册，第三册。 ......

矩阵很多同学没有接触过，所以感觉很难，很复杂，其实只要学过矩阵的同学都知道，矩阵运算并不难。今天我们给大家讲讲游戏开发中的矩阵的运算。 1:矩阵是什么? 矩阵是描述线性变换的一种数学工具,线性变换指的是使用一次函数从一个空间变换到另外一个空间。 例如在空间A中的一个2维向量（xa, ya）变换到空间 ......

题目：从前有一只青蛙他想跳台阶，有n级台阶，青蛙一次可以跳1级台阶，也可以跳2级台阶；问：该青蛙跳到第n级台阶一共有多少种跳法。 当只有跳一级台阶的方法跳时，总共跳n步，共有1次跳法 当用了一次跳二级台阶的方法跳时，总共跳n-1步，共有n-1次跳法 当用了两次跳二级台阶的方法跳时，总共跳n-2步，共 ......

第一章 预备知识 函数的复合 \(f\circ g\) 和 \(g\circ f\) 可能写出来的表达式一样，但是定义域不一样。\(f(x)=\frac{1}{1-x}.,g(x)=\frac1x\) 多个函数复合可以实现结合律，但是显然没有交换律。 周期函数的定义需要满足 \(f(x)\) 在 \ ......

数学： 证明方法：反证法，双向证明法 质因数 约数： 试除法 约数个数 (a1+1)(a2+1)...(an+1)=\(\prod_1^{约数个数} (a_i+1)\) 约数之和 (p1^0 +p1^1 +...+p1^a1)...=\(\prod_1^{约数个数} \sum_{i=0}^{每个约数 ......

研究目的：本研究在电子书上开发了一个基于数学游戏的学习环境，帮助儿童减少数学焦虑，提高数学学习的自我效能感、动机和成绩。 研究对象：为了评估该方法的有效性，我们在一所小学的数学课程中进行了实验。采用准实验研究的方法，选取三个班共69名小学生作为研究对象。一个班为实验组A，另一个班为实验组B，第三个班... ......

数学常量 math.E //自然对数的底，2.718281828459045 math.Pi //圆周率，3.141592653589793 math.Phi //黄金分割，长/短，1.618033988749895 math.MaxInt //9223372036854775807 uint64( ......

中国剩余定理 P1495 【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪 问题： 对于方程组 \(x \equiv b_1 (\bmod\) \(p_1)\) \(x \equiv b_2 (\bmod\) \(p_2)\) …… \(x \equiv b_n (\bmod\) \(p_n)\) 满足任 ......

质数筛 线性筛法： 保证每个数都被其最小质因数给筛掉。 代码： void solve() { for(int i=2;i<=n;i++){ if(!st[i])primes[++tot]=i; for(int j=1;j<=tot;j++){ st[i*primes[j]]=true; if(i%p ......

一些可能会看到的数学符号。 \(\gcd(x,y)\)：最大公倍数。 \(\operatorname{lcm}(x,y)\)，最小公约数。 \(a\vert b\) : \(b\) 可以被 \(a\) 整除。也就是 \(a\) 是 \(b\) 的因数。 比如我们就可以说 \(2\vert4\)。 \ ......

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当涉及大学生数学和计算机专业的级别考试时，以下是一个详细的提纲内容，包含了四级、六级和八级考试的重点领域和知识点。请注意，具体的考试大纲可能因不同学校或考试机构而异，这里提供的是一个基本框架。 数学专业级别考试提纲 四级考试 微积分 极限与连续性 导数与微分 积分与定积分 微积分应用 高等代数甲 向 ......

高中数学的知识点较多，知识的概括性与抽象性也是尤其突出，这对学生理解知识的相关能力也是提出了较高的要求。高中教师运用数学知识进行建模教学，是针对自身对课堂中相关知识点理解与运用问题的总结，也是帮助学生理清知识架构、知识逻辑、运用方法、注意事项等方面的高效教学方式。建模教学法能够帮助学生反思所学课堂知 ......