代数

6.1 代数结构 代数系统（代数）：非空集合 \(S\) 和 \(S\) 上的 \(k\) 个一元或二元运算 \(f_1, f_2, \cdots f_k\) 组成的系统。记作 \(<S, f_1, f_2, \cdots, f_k>\) 。 6.1.1 代数运算 设 \(A, B\) 是非空集合， ......

0. 逻辑哲学相对于数学哲学来说可能更让人难绷，但既然归入哲学，意味着讨论这玩意儿也就图一乐，大家看着玩就好。 显然可能有人以前也有过和我类似的一些想法，而且可能还不少。但是因为毕竟算不上什么主流，所以写出来也大概率会有一部分人没想到过。 那么这篇文字对于读者的娱乐性就达到了，其他的也不太需要在意。 ......

### 欧几里得空间 **前面我们一直提到了空间这个概念，比如二维空间、三维空间等等，并在此基础上拓展到 $n$ 维空间，尽管当时并没有对空间做明确的定义，但相信大家也能理解。然而数学是严谨的，必须要有严格的定义，那么接下来就从数学的角度看看什么是空间。** **空间是一个集合，不管是几维的，都可以 ......

# 微分方程和$e^{At}$ ## 微分方程$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=Au$ 本讲主要讲解解一阶方程（first-order system）一阶导数（first derivative）常系数（constant coefficient）线性方程，上一讲介绍了如 ......

[题目传送门](https://www.luogu.com.cn/problem/B3608) 一道网络流题。 费用流板子题。费用流实际上是在给最大流套个最短路，而费用流一般边权会有负数，所以用 SPFA 算法，~~关于 SPFA，它复活了~~。 可以在最大流做 bfs 的时候将 SPFA 套上去。 ......

**关于斐波那契数列计算第n个数，使用矩阵特征向量和特征值求解：** Fibonacci 数列的定义是：$F(0)=0$，$F(1)=1$ 并且对于 $n>1$，$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$。我们可以使用线性代数中的特征向量和特征值来求解 Fibonacci 数列。 首先，我们可以将 F ......

### 线性组合 **回忆一下向量的两个最基本的运算：** + **向量加法：$\vec{v} + \vec{w}$** + **向量乘法：$k\vec{v}$** **这两个基本运算构建了线性代数中最重要的一个概念：线性组合。对于若干个 $n$ 维向量 $\vec{v_{1}}, \vec{v_{ ......

### 什么是线性系统 **系统这个概念有点抽象，之前学的矩阵就可以看作是一个系统，线性系统和初中学的线性方程组是比较类似的。比如：** $\begin{cases}x + 2y = 5\\3x+4y = 6\end{cases}$ **但这里的重点是线性，所谓线性就是，未知数只能是一次方项。像 $ ......

### 更多的变换矩阵 **之前我们说矩阵可以看作是向量的函数，矩阵可以改变一个点的坐标，比如将一个点的横坐标扩大 a 倍，纵坐标扩大 b 倍，那么就可以让如下矩阵与之相乘。** $T = \begin{Bmatrix}a & 0\\0 & b\end{Bmatrix}$ **本次就来介绍更多的变换 ......

### 什么是矩阵 **前面我们介绍了向量，它是线性代数中最基本的元素，但提到线性代数，估计更多人第一时间想到的是矩阵（Matrix）。** **$\begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{Bmat ......

### 规范化和单位向量 **在了解完向量的基础知识后，我们来探讨更多和向量有关的高级话题。首先向量是一个有向线段，由原点指向空间中的某一个点，所以向量除了具有方向之外，还应该具有大小。比如有两个向量 $\vec{u}$、$\vec{w}$，分别是 $(3, 4)^{T}$、$(4, 3)^{T}$ ......

### 什么是向量 **我们在初等数学的时候，研究的都是一个数，而到线性代数，我们将从研究一个数拓展到研究一组数，而一组数的基本表示方法就是****向量（Vector）****。向量是线性代数研究的基本元素，它就是一组数，比如 $(1, 2, 3)$ 就是一个向量。那么问题来了，向量究竟有什么作用呢 ......

3.1 矩阵和向量 这一节对矩阵和向量的概念进行描述，不再赘述。 3.2 加法和标量乘法 矩阵和矩阵的加法：对应元素相加 矩阵和标量乘法：矩阵的每个元素都与标量相乘 3.3 矩阵向量乘法 以及 3.4 矩阵乘法 都可以看作是矩阵乘法，第i行乘第j列，对应元素相乘再相加，然后放到结果矩阵的第i行第j列 ......

#### 1.特征值和特征向量 **特征值和特征向量的定义：** 对于n阶矩阵A，如果存在一个数λ以及非零n维列向量α，使得 **Aα = λα** 成立 则称λ是矩阵A的一个**特征值**。非零向量α是**矩阵A属于特征值的一个特征向量**。 >这个式子可以写成**(λE-A)α = 0，α≠0* ......

#### 1.如何求齐次方程组的基础解系 前面已经学过： 基础解系的定义为：一个向量组中**所有的向量都是原方程的解**，并且**线性无关**，又**能由这个向量组线性表出这个方程组的所有解**。 先讲齐次方程组是因为它右侧常数都为0，解起来更为简单。 步骤：先对齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，直 ......

## Lecture 1 课程介绍： (1) 图同构的群论算法。 (2) 匹配的代数算法。 前置知识：群论，包括群同态、合成列、群作用、自同构等。 **定义** 一张图 $G = (V, E)$，$V$：点集，$E \subset \binom V2$：边集。其中 $\binom V2$ 表示从 $ ......

> 本文是斯坦福大学CS 229机器学习课程的基础材料，[原始文件下载](http://cs229.stanford.edu/summer2019/cs229-linalg.pdf) > 原文作者：Zico Kolter，修改：Chuong Do， Tengyu Ma > > 翻译：[黄海广](ht ......

高中数学的学习与大学数学的学习有何不同？这个问题涉及到高中数学与大学数学之间的衔接，对于数学学院大一新生尽快转变思维方式，顺利进入数学专业基础课（数学分析、高等代数和空间解析几何）的学习尤为重要。 以高等代数课程为例，通常每周会安排4学时的正课以及2学时的习题课。在正课上，任课教师会讲解课本中的概念 ......

#### 1.线性方程组的基本概念 齐次/非齐次线性方程组的概念在高数中已经涉及过了。  非齐次线性方程组 ......

[TOC] [原文链接](https://www.cnblogs.com/alex-wei/p/LinearAlgebra.html) # 0x00 行列式 ## 0x01 定义 关于数学定义式：$$\sum_{p}(-1)^{\tau(p)} \prod_{i=1}^{n}A_{i,p_i}$$ ......

#### 1.向量组的秩 **极大线性无关组**的定义：  >注意： 同一个向量组可能有很多不同的极大线性 ......

# 线性代数 ##前言： 最近咕咕咕了好久了，1是因为换了教室，2是因为很多题在做，没时间，3则是因为上了线性代数。 [toc] ## 矩阵 在c++中，矩阵可以用二维数组来表示，但是乘法的运算有点不同，要重新定义 ### 矩阵的基本运算 1.加/减/数乘运算：直接一一对应直接运算即可 2.乘法运算 ......

翻译自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/85169630 字符串是 0-index． 周期引理：对于长为 $n$ 的字符串 $s$，如果 $p,q$ 均为 $s$ 的周期，并且 $p+q-\gcd(p,q)\leq n$，那么 $\gcd(p,q)$ 也是 $s$ 的周期。 ......

 1.用公式，将求逆转化为**求伴随矩阵和行列式** 2.根据性质，可逆矩阵一定可以写成一系列初等矩阵乘 ......

### 前言 **线性代数**（linear algebra）是关于向量空间和线性映射的一个数学分支。它包括对线、面和子空间的研究，同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。 本文主要介绍**机器学习**中所用到的线性代数**核心基础概念**，供读者学习阶段查漏补缺或是**快速学习参考**。 ### 线 ......

# 线性代数 在高铁上听了听线性代数的课，概念有点多，怕忘了。 ## 行列式 ### 一些基础的东西 **N(A)**:排列 $A$ 的逆序数。 **2阶行列式:**$A = \begin{vmatrix}a & b\\c &d\end{vmatrix} = ad-bc$ **3阶行列式:**$A ......

- 代数系统：非空集合A连同定义在该集合上的运算$f_1,...,f_n$所组成的系统称为代数系统，记作$$ - 运算及其性质 - 封闭 - *是定义在集合A上的二元运算 - 对$\forall x,y\in A$都有$x*y\in A$ - 二元运算*在A上是封闭的 - 可交换 - *是定义在集合 ......

复旦高代教材从1993年9月开始在复旦大学数学系使用，30年间历经数次修订，连续荣获“十五”、“十一五”和“十二五”国家级规划教材。为了使读者有更加深入的了解，下面给出每一章的详细介绍，以展示复旦高代教材在构建高等代数知识体系及其应用框架的过程中一些具体的设计与独特的思考。 第一章 行列式 复旦高代 ......

## 导航 - [向量](#向量) - [基向量](#基向量) - [特征向量](#特征向量) - [矩阵](#矩阵) - [行列式](#行列式) - [逆矩阵](#逆矩阵) - [矩阵与方程组](#矩阵与方程组) - [秩](#秩) - [满秩](#满秩) - [列空间](#列空间) - [零空间 ......

# C/C++多项式链式存储结构及其代数运算[2023-07-22] 41 多项式链式存储结构及其代数运算 （1）问题描述 设计并建立一个链式存储分配系统来表示和操作多项式。为了避免对零和非 零多项式进行不同的处理，使用带头结点的循环链表。为了充分利用多项式中不 再使用的结点，维护一个可用空间表 a ......