定理 矩阵

说明 稀疏矩阵是一种特殊类型的矩阵，其中大多数元素都为零。相反，稠密矩阵是大多数元素都非零的矩阵。 稀疏矩阵在很多实际应用中非常常见，因为许多现实世界的数据都具有高度的稀疏性，意味着只有少数几个元素是非零的，而其他元素都是零。使用稀疏矩阵可以有效地节省存储空间和计算资源。 稀疏矩阵是一种在实际应用中 ......

Master Theorem 用途 一种用于计算递归时间复杂度的定理。 比如对于一个时间复杂度递推式：\(T(n)=T(n/2)+O(n)\), 可以浅显地看出它的复杂度为\(O(nlog_2n)\),因为我们这样子的递归写了太多次了。 但我们可以看到\(T(n)=4T(n/2)+n\), 它的复杂 ......

Day2-数组2023.9.15 Leetcode977 有序数组的平方 给你一个按 非递减顺序 排序的整数数组 nums，返回 每个数字的平方 组成的新数组，要求也按 非递减顺序 排序。 初解 我还是不能想到暴力解法之外的，对某个问题的最优复杂度也没有概念。就算提示我是用指针，我也想不到思路。 现 ......

掌握闭区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理的内容及证明。会运用这些定理证明相关题目，如 例1、例2。注意定理成立的条件。 重点习题：第1、3、5、7。 博雷尔（Borel）（1871年1月7日 -1956年2月3日），是法国数学家。他的一生成就甚丰，对数学分析、函数论、数论、代数、几何、数学物理、概率 ......

假设有递推关系式 \(T(n) = aT(\frac n b )+ f(n)\)， 其中 \(T(n)\) 为问题规模， \(a\) 为递推的子问题的数量，\(\frac n b\) 为每个子问题的规模（假设每个字问题规模基本一样），\(f(n)\) 为递推以外进行的计算工作。\(a \geq 1, ......

本文中设\(H\)是一个\(\Phi\)(\(\Phi=\mathbb{R}\)或\(\mathbb{C}\))上的Hilbert空间. 命题1.设\(C\)是\(H\)中的一个闭凸集, \(x\notin C\), 则存在唯一的\(x_0\in C\)使得\(\|x-x_0\|=\inf_{y\i ......

本文基于blislab与openblas项目，讲述在riscv平台上优化矩阵乘优化过程。 为了方便riscv-rvv加速，将blislab项目中的double数据类型改为float（即测试单精度浮点性能），且例子都是列主序的。 github库使用步骤见 1 blislab项目 Blislab是一个开 ......

一、什么是矩阵 \(m\) 行 \(n\) 列的数表记作矩阵 \(A_{mn}\)，在 \((i,j)\) 的数记作 \(a_{i,j}\)。 注意：矩阵的行列不能颠倒。 二、矩阵转置 \(A\) 的转置记作 \(A^T\)，操作为 \(a_{i,j}\to a_{j,i}\)。 三、矩阵乘法 矩阵 ......

为何最新的OpenGL 看不到 gluPerspective API 最新版本的OpenGL（OpenGL 3.1及更高版本）中取消了对GLU（OpenGL Utility Library）的支持。GLU是一个辅助库，提供了一些便捷的函数和工具函数，用于简化OpenGL编程过程。其中包括 gluPe ......

掌握柯西中值定理和洛必达法则，能够熟练运用洛必达法则求不定式的极限。 注意罗尔定理，拉格朗日定理和柯西中值定理之间的递进关系与几何意义。 重点习题：第3、4、5题。 纪尧姆·弗朗索瓦·安托万·洛必达侯爵（Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital ......

数据实现矩阵计算比较易容的，想想用SQL打印带状矩阵 小程序 SQL SERVER 2022 实现代码： declare @row int = 1 , @col int = 1 , @line int = 1 , @upper int = 7, --矩阵维度 @zero nvarchar(20) = ......

import numpy as np print(np.arange(15)) a = np.arange(15).reshape(5,3) # 矩阵重组 print(a) [ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14] [[ 0 1 2] [ 3 4 5] [ 6 7 ......

概念 协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。 其实简单来讲，协方差就是衡量两个变量相关性的变量。当协方差为正时，两个变量呈正相关关系（同增同减）；当协方差为负时，两个变量呈负相关关系（一增一减）。 而协方差 ......

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需求跟踪矩阵（Requirements Traceability Matrix, RTM）是项目管理和质量管理中的一个工具，用于跟踪项目需求与其来源以及如何满足这些需求的文档或活动之间的关系。其主要目的是确保项目满足所有定义的需求，同时为相关方提供一个清晰的视图，显示需求如何在项目的各个阶段被考虑和 ......

盖斯定理（Gibbs' theorem）：在化学反应中，系统的自由能变化等于反应物和生成物的摩尔自由能之差乘以温度。 亨利定律（Henry's law）：在恒定温度下，气体与溶液之间的平衡状态是由气体的分压与其在溶液中的摩尔溶解度之间的线性关系决定。 表面张力定律（Surface tension l ......

欧拉方程：描述液体中气泡的运动和演化。 牛顿第一定律：一个物体如果受力为零，将保持静止或匀速直线运动。 牛顿第二定律：F=ma，描述物体的加速度与施加在物体上的力的关系。 牛顿第三定律：对于每个作用力都存在一个相等大小、方向相反的反作用力。 万有引力定律：描述两个物体之间引力的大小与距离的平方成反比 ......

显然，当所有有向图的SG都为0的时候，游戏和的SG也为0 当游戏和的SG不为0的时候，设此SG为x，x二进制下最高位1的位置为k，那么肯定至少存在一个有向图的SG的第k位也是1，设这个有向图的SG为y，那么这个有向图此时可以移动的后继显然0~y-1都出现过，所以可以将这个有向图的SG变为y xor ......

题目描述：给定 $n \times n$ 的矩阵 $A$，求 $A^k$。 矩阵：一个 $m \times n$ 的矩阵是一个由 $m$ 行 $n$ 列元素排列成的矩形阵列。即形如 $$ A = \begin{bmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & \cdots & a_{1 n} ......

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矩阵乘法的定义 矩阵 A* 矩阵 B = 矩阵 C 性质：满足结合律，分配率，但不满足交换律 矩阵乘法的特殊情形 矩阵 A 是一个 N*N 的矩阵，矩阵 F 是一个 N*1 的矩阵，设 F1= A*F，发现 F1也是一个 N*1 的矩阵，只有一行元素的矩阵，我们不妨把这些元素看成是一个个变量，而矩阵 ......

中国剩余定理(CRT) 中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 \(m_1, m_2, m_3,\cdots\) 两两互质）： \[\left\{ \begin{array}{rcl} x \equiv a_1 \bm ......

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具体例子： ......

## 977.有序数组的平方 双指针法 因为负数平方后也会变大，所以较大的平方值只可能在靠近两端的位置，越往中间走平方值必定越小。 > 所以，在原数组两端各定义一个指针，慢慢往中间走，然后把平方值按顺序放到新数组里即可。 ```c++ class Solution { public: vector ......

在分布式系统中，有一个著名的理论定理被称为CAP定理（CAP theorem），它描述了在一个分布式系统中三个关键属性的权衡：一致性（Consistency）、可用性（Availability）和分区容错性（Partition Tolerance）。 根据CAP定理，一个分布式系统无法同时满足一致性 ......

一个用来求一张图的生成树个数的方法。 ## 基础结论 在无向图中，定义一个点的度数为 $d_i$，边 $(u,v)$ 的数量为 $c_{u,v}$。 在有向图中，定义一个点的入度为 $ind_i$，出度为 $outd_i$，边 $u\to v$ 的数量为 $t_{u,v}$。 先把结论扔出来： 求无 ......

参考资料： https://einops.rocks/1-einops-basics/ 这篇随笔主要记录使用Einops这个矩阵操作的库的时候发现的，值得记录的高频或者重要的操作： 既然网上的教程已经很详尽了，为什么还要这样做？因为遇见一次的情况很有可能下次还会遇到，主要是写给自己看，方便以后查阅。 ......

## 曼哈顿距离矩阵 [码题集OJ-曼哈顿距离矩阵 (matiji.net)](https://www.matiji.net/exam/brushquestion/10/4009/C448715ED43BEA9D2D47CED523050945) ![](https://img2023.cnblog ......

### 欧几里得空间 **前面我们一直提到了空间这个概念，比如二维空间、三维空间等等，并在此基础上拓展到 $n$ 维空间，尽管当时并没有对空间做明确的定义，但相信大家也能理解。然而数学是严谨的，必须要有严格的定义，那么接下来就从数学的角度看看什么是空间。** **空间是一个集合，不管是几维的，都可以 ......