导数 微分

不同角度解决双变量问题 已知函数\(f(x)=x\ln x-\dfrac{1}{2}ax^2-x(a\in\mathbb{R})\) \((1)\) 若函数\(f(x)\)在\(\left[\dfrac{1}{e},+\infty\right)\)上为增函数，求实数\(a\)的最大值； \((2)\ ......

多变量问题转化成单变量问题 设\(a\in \mathbb{R}\)，函数\(f(x)=x^2e^{1-x}-a(x-1)\) \((1)\)当\(a=1\)时，求\(f(x)\)在\(\left(\dfrac{3}{4},2\right)\)内的极值 \((2)\)设函数\(g(x)=f(x)+a ......

观察放缩 已知函数\(f(x)=\dfrac{\sin x}{e^x}\) \((1)\) 求函数\(f(x)\)在\((0,3)\)上的单调区间 \((2)\) 若\(x>0\)时，\(f(x)\leq a\ln (x+1)\)，求实数\(a\)的取值范围 解 \((1)\) \(f^{\prim ......

今天的作业，随手写到博客吧. \(Proof.\)对于任意的\(p \in M\)，有p附近的坐标卡\((U,x^{1},\ldots,x^{n})\), 由引理\(21.4\),$$dx^{1}\wedge\ldots \wedge dx^{n}(X_{1,p},\ldots,X_{n,p})>0 ......

找出相同结构 设函数\(f\left(x\right)=\mathrm{e}^x-1-ax\). \((1)\) 若\(x\geq0\),\(f\left(x\right)\geq0\),求\(a\)的取值范围; \((2)\)若\(x>0\)且\(m\geq1\),证明：\(f\left(x\ri ......

微分中值定理 一、罗尔定理 内容 如果函数 \(f(x)\) 满足： 在 \([a,b]\) 上连续； 在 \((a,b)\) 内可导； 在区间端点处的函数值相等，即 \(f(a)=f(b)\)。 那么在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi(a<\xi<b)\) 使得函数 \(f(x)\) ......

微分中值定理 罗尔定理 观察下图 设曲线 \(AB\) 是函数 \(y=f(x) (x \in [a,b])\) 的图形. 图中两端点的纵坐标相等，即 \(f(a) = f(b)\) 可以发现在曲弧线的最高点 \(C\) 处或最低点 \(D\) 处，曲线有水平的切线. 记 \(C\) 点的横坐标为 ......

常规的双变量问题与隐零点 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+a\ln x-4x(a>0)\) \((1)a=3\)时，讨论\(f(x)\)单调性 \((2)\) 设\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2(x_1<x_2)，\)证明\(f(x_1)+f(x_2)>\ln a ......

微分流形Loring W. Tu section19 19.12 解答，当然咯我自己也不知道是否严谨正确，反正就是自己的思考与想法，简单一写，欢迎友好讨论. 19.12 对于任意的\(f \in C^{\infty}(M)\), \(\forall p \in M\), 定义映射 \[\begin{ ......

新颖地利用切线拟合零点 已知函数\(f(x)=\ln x+ax(a\in\mathbb{R})\) (1)讨论函数\(y=f(x)-a\)的零点个数 (2)若\(a>-1\)且函数\(y=f(x)-a\)有两个零点\(x_1，x_2\)证明：\(|x_1-x_2|<\left(\dfrac{2}{a ......

双变量问题中参数的处理 已知函数\(f(x)=ae^x-\dfrac{1}{2}x^2+a\)有两个不同的极值点\(x_1,x_2(x_1<x_2)\) \((1)\) 求\(a\)的取值范围 \((2)\) 已知\(m>0,\)且\(x_1+mx_2>m+1\),求\(m\)的取值范围. 解 \( ......

标量变量的反向传播 以下举两个例子说明标量变量的反向传播如何实现。 非标量变量的反向传播 在上述的例子中，x 是向量，而 y 是标量，这种类型为标量变量的反向传播。 但当 y 不是标量时，比如 y = x * x，当求向量 y 关于 另一个向量 x 的导数时，结果通常就是一个矩阵，被称为雅可比矩阵， ......

保号性应用 已知函数\(f(x)=e^x-mx\) (1)讨论\(f(x)\)单调性 (2)若\(f(x)\geq (a-m)x-\sin x+1,\forall x>0\)恒成立，求\(a\)的取值范围 解. \((1)\) 当\(m\leq 0\)时，\(f(x)\)为单调递增 当\(m>0\) ......

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最重要的就是dy=f′(x)dx看下面例题就知道了 ......

散度 ​ 通俗考虑：散度（ \(\mathrm{div}\) ），刻画了一个区域 \(D\) 内东西向外逃逸的趋势。对于一个表面张力不足以支撑它维持现有形状的水滴，它会有一个向外散开的趋势，此时它速度场的散度就是大于零的；反之对一个正在遇冷收缩的金属块而言，它的形状改变趋势是向内收缩，此时它速度场的 ......

\(Wronskian\) 行列式 对一个函数集合 \(A=\{f|f_i(x),1\leq i\leq n\}\) ，定义一个函数矩阵 \(W_A(x):=\left|\matrix{f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\ f_1'(x) & f_2'(x) & ......

张量的梯度信息 张量的梯度信息是指张量相对于某个或多个变量的导数。梯度表示了函数在某一点的变化率，它是一个向量，其中每个元素对应于函数相对于输入变量的偏导数 在深度学习中，我们通常使用梯度来更新模型参数，以便最小化或最大化某个损失函数。梯度下降是一种常见的优化算法，它使用梯度信息来沿着损失函数的负梯 ......

数值微分近似 #囚徒4.0_13_数值微分近似 import numpy as np import matplotlib.pylab as plt #求 数值微分 导数 def numerical_diff(f, x): h = 1e-4 # 0.0001 return (f(x+h) - f(x- ......

拓扑微分几何深度学习技术 数学与AI：AI的拓扑几何基础 本次讲座邀请了纽约州立大学石溪分校计算机系帝国创新教授顾险峰老师。 顾险峰： 1994年于清华大学获得计算机科学学士学位，2002年于哈佛大学获得计算机科学博士学位，师从国际著名微分几何大师丘成桐先生。顾博士目前为纽约州立大学石溪分校计算机系 ......

对于手工计算来说，积分计算是非常困难的，对于一些简单的函数，我们可以直接通过已知的积分公式来求解，但在更多的情况下，原函数并没有简单的表达式，因此确定积分的反函数变得非常困难。 另外，相对于微分运算来说，积分运算则具有更多的多样性，包括不同的积分方法（如换元积分法、分部积分法等）和积分技巧，需要根据 ......

第5章-常微分方程的数值解 基本思想：若微分方程有初始值 \(x_0, y_0\) ，则把微分方程转化为递推公式，从而递推出每个离散点的方程解 5.1 欧拉方法 已知： \[\left\{ \begin{array}{l} \frac{dy}{dx} = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 ......

导数 一个函数\(f(a)=3a\)，它是一条直线。下面来简单理解下导数。让 看看函数中几个点，假定\(a=2\)，那么\(f(a)\)是\(a\)的3倍等于6，也就是说如果\(a=2\)，那么函数\(f(a)=6\)。假定稍微改变一点点\(a\)的值，只增加一点，变为2.001，这时\(a\)将向 ......

深度学习框架可以自动计算导数的原理主要如下: 1. 深度学习框架实现了自动微分机制,可以自动生成计算图,并记录运算过程。 2. 在计算图中,每个变量都是计算节点,变量之间通过计算操作连接。 3. 框架会跟踪整个计算图,记录每个变量的运算关系和数据流动。 4. 对于要求导数的变量,我们将其标记为要求导 ......

一元微分学 判断题/常识 导函数至多只有第二类间断点. \(\star\)[华四5.5定义1] 设函数 \(y=f(x)\) 定义在 \(x_0\) 的某领域 \(U(x_0)\) 上, 当给 \(x_0\) 一个增量 \(\Delta x, \ x+\Delta x\in U(x_0)\), 相应 ......

矩阵微分基础知识 定义 重要结论 应用 定义 (1) 向量对标量求导 矩阵对标量求导 我们可以看到上述求导过程实际上就是不同函数对变量求导，然后按照向量或者矩阵的形式排列，注意这里结果的结构应该与函数的结构保持一致 (2)标量对向量求导 标量对矩阵求导 这里的理解使同一个函数对不同的变量求导，然后注 ......

这边就是一些求导公式 然后n阶导的表示方法，d表示微分 然后这个就是一个骚操作，就是一直迭代，然后得到 然后正弦函数求导周期是四 ......

设\(F(x)=\ln x+x^a-e^a,a\neq 0,x>0\) 1.设\(F(x)\)有唯一零点\(x_0,x_0>1,\)证明\(x_0\)随着\(a\)的增大而增大 \(F'(x)=\frac{1}{x}+ax^{a-1}\)当\(F'(x)>0\)，\(G(x)=1+ax^a>0\) ......

\[\begin{cases} & \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2} = A_0\sin\omega t & 0\lt x\lt l,t\gt 0\\ & u\big\vert_{x=0}=u ......

齐次微分方程 \[\sum a_iy^{(i)}=0 \]\(a_i\) 不必是常数。 那么我们认为 \(y\) 函数微分有限。 在 OI 中，我们一般研究形式幂级数，生成函数，所以有必要考察形式幂级数的微分有限性。 P-递归数列 待读 wikipedia 我英文怎么这么差啊 此种数列存在 \(d+ ......